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必修四数学期末试卷
高中数学必修一必修四综合检测题(一)
一、选择题
1.若向量 ， ， 满足条件 ，则 =( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如果 ，那么 等于( )
A. B. C. [ D.
3.已知向量 ( )
A. B. C. D.
4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.2
5.若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
6.函数 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数 ，若函数 有3个零点，则实数m的取值范围( ).
A.(0, ) B. C. D. (0,1)
8. 为三角形 的一个内角,若 ,则这个三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
9.设 是定义在 上的奇函数，且 ， ，则 ( )
A.0 B. 0.5 C.2 D.
10.已知函数 满足:对任意实数 ,当 时,总有 ,那么实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.已知 ,则 = .
12.方程 在 上有两个不等的实根，则实数 的取值范围是
13.设 ，则
14.若 ，则 的取值范围是
15.关于x的方程 有实根，且一个大于2，一个小于2，则m取值范围为_ __ __.
三、解答题
16. 已知集合 ， , 。
(1)求 ;(2)求 ;(3)若 ，求 的取值范围
17.已知向量 与 的夹角为30°，且| |= ，| |=1，
(1)求| -2 |的值
(2)设向量 = +2 ， = -2 ，求向量 在 方向上的投影
18.已知向量a=cos x，-12，b=(3sin x，cos 2x)，x∈ ，设函数 =a•b.
(1)求 的最小正周期;
(2)求 在0，π2上的最大值和最小值.
19.设 是定义在R上的奇函数，且对任意a、b ，当 时，都有 .
(1)若 ，试比较 与 的大小关系;
(2)若 对任意 恒成立，求实数k的取值范围.
20. 在每年的“春运”期间，某火车站经统计每天的候车人数 (万人)与时间 (小时)，近似满足函数关系式 ， ，并且一天中候车人数最少是夜晚2点钟，最多是在下午14点钟。
(1)求函数关系式?
(2)当候车人数达到13万人以上时，车站将进入紧急状态，需要增加工作人员应对。问在一天中的什么时间段内，车站将进入紧急状态?
21.已知函数 的图象过点 ，且图象上与 点最近的一个最高点坐标为 .
(1)求函数的解析式;
(2)指出函数的增区间;
(3)若将此函数的图象向左平行移动 个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到 的图象，求 在 上的值域.
(选做)22.已知函数
(1) 判断 的单调性并证 明;
(2)设函数 .若关于x的方程g(x)=0在(0，2)上有两个解x1，x2,求k的取值范围, 并比较 与4的大小.
高中数学必修一必修四检测题(一)参考答案
CDBCA ADBBA 11. 12. 13.17 14. 15.
16.解：(1)
=
(2)
=
(3) 集合 , ，且
17.解(1)∵| -2 |= =
= =1
(2)(法一)：由(1)可知 ; ; =
∴ = = ;从而在方向上的投影为 =
(法二)：∵由(1)可知 ; = = =
18.解：f(x)=cos x，-12•(3sin x，cos 2x)
=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x
=cosπ6sin 2x-sinπ6cos 2x=sin2x-π6.
(1)f(x)的最小正周期为T=2πω=2π2=π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤5π6.
由正弦函数的性质，知当2x-π6=π2，即x=π3时，f(x)取得最大值1;
当2x-π6=-π6，即x=0时，f(0)=-12，
当2x-π6=5π6，即x=π2时，fπ2=12，
∴ f(x)的最小值为-12.
因此，f(x)在0，π2上的最大值是1，最小值是-12.
19.解：(1)因为 ，所以 ，由题意得：
，所以 ，又 是定义在R上的奇函数，
，即
(2)由(1)知 为R上的单调递增函数，
对任意 恒成立，
，即 ，
， 对任意 恒成立，
即k小于函数 的最小值.
令 ，则 ，
.
20.解：(1)由题意知
解得：
即：
又∵当 时，
∴
∴
(2)问题等价于，
即
∴
答：一天中10——18点，车站将进入紧急状态。
21.(1)由已知可得
由 得
……3分
(2)由
增区间是
(3)
的值域为
22.解：(1)由题意得： ，设 ，
则
， ，又 ，得
，即 ，∴ 在 上为增函数.
(2)
在 上有两个解 ，不妨设
因为
所以 在 是单调函数，故 在 上至多一个解.
若 ，则 ，故不符题意，因此
由 得 ，所以 ，
由 得 ，所以 ;
故当 时，方程 在 上有两个解.
方法一：因为 ，所以 ，
消去 得 ，即
因为 ，所以 .
方法二：由 得
由 ，得 ，因为 ，所以 .
则 .
而 在 上是减函数
则
因此
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