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中考数学压轴题目及答案
(1)先求解下列两题:
① 如图①,点B、D在射线AM上,点C、E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求∠A的度数;
② 如图②,在直角坐标系中,点A在y轴正半轴上,AC∥x轴,点B、C的横坐标都是3,且BC=2,点D在AC上,且横坐标为1,若反比例函数y=(x>0)的图象经过点B、D,求k的值。
(2)解题后,你发现以上两小题有什么共同点?请简单写出。 解:(1)① ∵在△ADE中,∠EDM=∠A+∠AED
∴∠AED=∠EDM-∠A ∵CD=DE ∴∠AED=∠DCE ∴∠DCE=∠EDM-∠A
∵在△ACD中,∠DCE=∠A+∠ADC ∴∠ADC=∠DCE-∠A
=∠EDM-2∠A
∵BC=CD ∴∠ADC=∠DBC ∴∠DBC=∠EDM-2∠A
∵在△ABC中,∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠ACB=∠DBC-∠A
=∠EDM-3∠A
∵AB=BC ∴∠A=∠ACB
k
x
∴∠A=∠EDM-3∠A ∴∠A=1
4
∠EDM ∵∠EDM=84° ∴∠A=21°
② ∵点B在反比例函数图象上,且横坐标为3 ∴可设点B的坐标为(3,k3
) ∵C的横坐标是3,且BC=2 ∴点C的坐标为(3,k3
2) ∵D的横坐标为1,且AC∥x轴 ∴点D的坐标为(1,k3
2) ∵点D在反比例函数图象上 ∴1·(k3
2)=k ∴k
=3
(2)两小题的共同点是:用已知的量通过一定的等量关系去表示未知的量,建立方程解答问题
如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E在AB边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积为S1. (1)求证:∠APE=∠CFP;
(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,y=S1。
S2
① 求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值; ② 当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值。 解:(1)过点P作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H。
∵AC是正方形ABCD的对角线 ∴∠HPC=∠HCP=45° ∵∠EPF=45°
∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90° ∵∠PHF=90° ∴∠CFP+∠HPF=90° ∴∠APE=∠CFP
(2)①∵P是正方形ABCD的对称中心,边长为4
∴PH=GP=2,
∵CF=x ∴S△PFC=CF·PH=x ∴S2=2S△PFC=2x
∵∠APE=∠CFP,∠PAE=∠PCF=45° ∴△APE∽△CFP AEAP
= CPCF
12
∴AE=
APCP8
CF
x182x1
∵S△ABC=AB·BC=8
2
∴S△APE=AE·GP=
∴S四边形BFPE=S△ABC-S△APE-S△PFC=8--x ∴S1=2S四边形BFPE=16-∴y=S1=
S2
8
x
16
-2x x
16
16 2x
88 2 1
2xxx
∵点F在BC边上,点E在AB边上,且∠EPF=45° ∴2≤x≤4
11x211∴当 ,即x=2时,y有最大值,最大值为1
x2
∵y= 8( )2 1
② 因为两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,要使其关于点P成中心对称,则两块阴影部分图形还要关于直线BD成轴对称,此时BE=BF
∴AE=CF
则=x,得x
舍去) ∴x
8x
∴y
=
888 1
1
x2x8
已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0)。 (1)求证:不论a与m为何值,该函数与x轴总有两个公共点;
(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D。 ① 当△ABC的面积等于1时,求a的值;
② 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值。 解:(1)当y=0时,a(x-m)2-a(x-m)=0
∵a≠0
∴x2-(2m+1)x+m2+m=0 ∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)
=4m2+4m+1-4m2-4m =1>0
∴方程a(x-m)2-a(x-m)=0恒有两个不相等的实数根 故,不论a与m为何值,该函数与x轴总有两个公共点 (2)由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0
解得:x=m或m+1 ∴点A的坐标为(m,0) 点B的坐标为(m+1,0) ∴AB=m+1-m=1
① 由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m-)2 -a得
11
2411
顶点C的坐标为(m+,-a)
24
∵△ABC的面积等于1 ·1·|-a|=1 ∴a=±8
1
214
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