高考数学知识点:三角函数公式

时间:2022-06-26 14:32:28 其他 我要投稿
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  锐角三角函数公式

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  sin =的对边 / 斜边

  cos =的邻边 / 斜边

  tan =的对边 / 的邻边

  cot =的邻边 / 的对边

  倍角公式

  Sin2A=2SinA?CosA

  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

  tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )

  三倍角公式

  sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)

  cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)

  tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)

  三倍角公式推导

  sin3a

  =sin(2a+a)

  =sin2acosa+cos2asina

  辅助角公式

  Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t),其中

  sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

  cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

  tant=B/A

  Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t),tant=A/B

  降幂公式

  sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2

  cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2

  tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))

  推导公式

  tan+cot=2/sin2

  tan-cot=-2cot2

  1+cos2=2cos^2

  1-cos2=2sin^2

  1+sin=(sin/2+cos/2)^2

  =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina

  =3sina-4sina

  cos3a

  =cos(2a+a)

  =cos2acosa-sin2asina

  =(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa

  =4cosa-3cosa

  sin3a=3sina-4sina

  =4sina(3/4-sina)

  =4sina[(3/2)-sina]

  =4sina(sin60-sina)

  =4sina(sin60+sina)(sin60-sina)

  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2]

  =4sinasin(60+a)sin(60-a)

  cos3a=4cosa-3cosa

  =4cosa(cosa-3/4)

  =4cosa[cosa-(3/2)]

  =4cosa(cosa-cos30)

  =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)

  =4cosa*2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]*{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-30)/2]}

  =-4cosasin(a+30)sin(a-30)

  =-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]

  =-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]

  =4cosacos(60-a)cos(60+a)

  上述两式相比可得

  tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)

  半角公式

  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

  sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

  cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

  tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

  [www.xuexifangfa.com]

  三角和

  sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin

  cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos

  tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)

  两角和差

  cos(+)=coscos-sinsin

  cos(-)=coscos+sinsin

  sin()=sincoscossin

  tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)

  tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)

  和差化积

  sin+sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]

  sin-sin = 2 cos[(+)/2] sin[(-)/2]

  cos+cos = 2 cos[(+)/2] cos[(-)/2]

  cos-cos = -2 sin[(+)/2] sin[(-)/2]

  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

  积化和差

  sinsin = [cos(-)-cos(+)] /2

  coscos = [cos(+)+cos(-)]/2

  sincos = [sin(+)+sin(-)]/2

  cossin = [sin(+)-sin(-)]/2

  诱导公式

  sin(-) = -sin

  cos(-) = cos

  tan (a)=-tan

  sin(/2-) = cos

  cos(/2-) = sin

  sin(/2+) = cos

  cos(/2+) = -sin

  sin() = sin

  cos() = -cos

  sin() = -sin

  cos() = -cos

  tanA= sinA/cosA

  tan(/2+)=-cot

  tan(/2-)=cot

  tan()=-tan

  tan()=tan

  诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限

  万能公式

  sin=2tan(/2)/[1+tan^(/2)]

  cos=[1-tan^(/2)]/1+tan^(/2)]

  tan=2tan(/2)/[1-tan^(/2)]

  其它公式

  (1)(sin)^2+(cos)^2=1

  (2)1+(tan)^2=(sec)^2

  (3)1+(cot)^2=(csc)^2

  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)^2,第二个除(cos)^2即可

  (4)对于任意非直角三角形,总有

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  证:

  A+B=-C

  tan(A+B)=tan(-C)

  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)

  整理可得

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  得证

  同样可以得证,当x+y+z=nZ)时,该关系式也成立

  由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

  (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

  (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

  (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

  (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

  (9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0

  cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及

  sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2

  tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

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