数学多边形内角和公式的推导方法

数学多边形内角和公式的推导方法

　　利用多边形的内角和来解决问题是我们在解题时经常遇到的，而知道多边形的外角和是多少也同样重要.在学习中我们知道任意多边形的外角和都为360，内角和公式为(n-2)180，利用这两个知识点可以解决多边形的内角、外角、边数及对角线等问题，现就一些例题进行一下例析.

　　一.求多边形的边数

　　例1.一个正多边形的内角和是900，则这个多边形的边数是_________.

　　分析：设此多边形边数为n，利用多边形内角和公式，得到(n-2)180=900，解得n=7，所以这个多边形的边数为7.

　　例2.一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是__________.

　　分析：设多边形边数为n，其内角和为(n-2)180，外角和为360，因为这个多边形内、外角和相等，可得(n-2)180=360解得n=4.所以这个多边形是四边形.

　　例3.如果正多边形的一个外角为72，那么它的边数是( )

　　分析：其中一种思考方法为：因为多边形的外角和为360，而一个外角为72，所以它的边数

　　为36072另一种思考方法为：因为正多边形的一个外角为72，可以得出与它相邻的内角为180-72=108，因多边形的内角和为(n-2)180，可得(n-2)180=108n，解这个方程得：n=5.

　　例4.一个多边形的内角和是外角和的4倍，求这个多边形的边数.

　　分析：此题可设多边形的边数为n，因为多边形内角和为(n-2)180，多边形的外角和为360，所以根据题意可得：(n-2)180=3604，解得n=10.所以这个多边形的边数为10.

　　二.求多边形的内角度数

　　例3：正六边形每个内角的度数为_________.

　　分析：因为多边形的外角和为360，所以正六边形每个外角的度数为 ,所以每个内角的度数为180-60=120此题也可利用多边形的内角和来解为 .

　　三.求多边形对角线的条数

　　例4：一个多边形的每个外角都为36，则这个多边形的对角线有_______条.

　　分析：因为这个多边形的每个外角都是36，所以这个多边形是正多边形.设这个正多边形的边数为n，则n= ，所以这个多边形是正十边形.因为多边形对角线的总条数为 ，所以这个多边形的对角线的条数为 .

　　四.实际应用

　　1.某装修公司到商场买同样一种多边形的地砖平铺地面，在以下四种地砖中，你认为该公司不能

　　买( )

　　A 正三角形的地砖 B 正方形地砖 C 正五边形地砖 D 正六边形地砖

　　分析：要使买的同样一种多边形的地砖能平铺地面，则它的几个角能构成360，因正三角形三个内角和为180，所以它符合标准;正方形的四个内角和为360，所以它也符合要求;而正五边形它的一个内角为108，360不能被108整除，所以正五边形不符合要求;用同样的道理可知正六边形符合要求.所以此题选C.