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高中数学韦达定理公式

时间：2024-01-16 14:15:16 艺勋其他我要投稿

高中数学韦达定理公式

　　韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。下面是小编为大家带来的高中数学韦达定理公式，欢迎阅读。

高中数学韦达定理公式

　　韦达定理公式：

　　一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中

　　设两个根为x和y

　　则x+y=-b/a

　　xy=c/a

　　韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0

　　它的根记作X1，X2…，Xn

　　我们有

　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

　　…

　　∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)

　　其中∑是求和，∏是求积。

　　如果一元二次方程

　　在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

　　由代数基本定理可推得：任何一元n次方程

　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

　　韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

　　定理的证明

　　设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，且不妨令x_1 ge x_2。根据求根公式，有：

　　x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}

　　所以：

　　x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，

　　x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac

　　韦达定理的意义：

　　根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。

　　无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。

　　判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

　　韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。

　　韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础。

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