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高等数学知识点总结
在我们上学期间，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。那么，都有哪些知识点呢？以下是小编为大家收集的高等数学知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
高等数学知识点总结
空间解析几何和向量代数
1、向量的线性运算、数量积、向量积、混合积运算；
2、空间曲线的参数方程、一般式方程；
3、空间曲面的隐式方程、显式方程；
4、空间平面的四个方程：点法式、截距式、三点式、一般式；
5、空间直线的四个方程：点向式、一般式、参数、两点式；（一般式与点向式相互转化）；
6、直线、平面之间的相对位置关系；
7、距离公式：点到平面、点到直线、两直线共面的条件、两直线之间的距离；
8、旋转曲面方程：绕x轴、绕y轴、绕z轴。
多元函数微分法及其应用
1、求多元函数的定义域、函数表达式；
2、求二元函数的重极限和累次极限(P63.6)；
3、求多元复合函数的高阶偏导数(P83.12)；
3、利用公式法、直接法求隐函数的偏导数(P89.7)；
4、讨论二元分段函数在某点处的连续性、偏导数存在性、可微性、偏导数连续性(P130.8)；
5、求多元函数的方向导数和梯度(P130.15.16)；
6、求空间曲线(一般式和参数式)的切线和法平面以及空间曲线(隐式和显式)的切平面和法线(P100.4.6.8.9.12)；
7、求多元函数的无条件极值和条件极值问题(P131.17.18)。
重积分
1、理解并运用二重积分和三重积分的定义、性质；
2、将二重积分化为在直角坐标系和极坐标系下的二次积分，并计算(P154.1.2;P155.13)；
3、交换二次积分顺序(P154.6)；
4、利用先一后二或先二后一计算三重积分(P164.4.5.8)；
5、使用柱坐标和球坐标计算三重积分(P164.9.10)；
6、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化二重积分和三重积分(P183.8(2))；
7、利用二重积分计算平面区域的面积、曲顶柱体的体积、平面区域的质量、空间曲面的面积、平面区域的质心、转动惯量；
8、利用三重积分计算空间区域的体积、空间区域的质量、空间区域的质心、转动惯量。
曲线积分和曲面积分
1、利用换元公式计算第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分(P190.2;P200.3;P219.6;P228.3)；
2、利用格林公式求第二类曲线积分(会添加辅助线)(P214.3.5)；
3、证明曲线积分与路径无关，并计算(P214.4)；
4、求P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数(P214.6);
5、用高斯公式计算第二类曲面积分(会添加辅助线)(P236.1(2.4);P246.4)；
无穷级数
1、利用比值审敛法、根值审敛法、等价无穷小代换审敛法等方法判断正项级数的敛散性(P268.1.2.4)；
2、利用莱布尼茨定理判断交错级数的敛散性(P269.5)；
3、求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域(P273;P274;P323.7)；
4、求幂级数的和函数(P276.6;P277.2;P323.8.9)；
5、利用直接法和间接法将函数展开成幂级数(P282;P283;P323.10).
高等数学知识点
第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。
第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。
1.知识层面
也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。考生们在清理这些知识点时，首先是点点必记，不可遗漏。再是建立相关联的网络，做到取自一点，连成一线，使之横竖纵横都逐个、逐级并网连遍，从而牢固记忆、灵活运用。
2.能力层面
从知识点的掌握到解题能力的形成，是综合，更是飞跃，将知识点的内容转化为高强的数学能力，这要通过大量练习，通过大脑思维、再思维，从而沉淀而得到数学思想的精华，就是数学解题能力。我们通常说的解题能力、计算能力、转化问题的能力、阅读理解题意的能力等等，都来自于千锤百炼的解题之中。
3.创新层面
数学解题要创新，首先是思想创新，我们称之为“函数的思想”、“讨论的方法”。函数是高中数学的主线，我们可以用函数的思想去分析一切数学问题，从初等数学到高等数学、从图形问题到运算问题、从高散型到连续型、从指数与对数、从微分与积分等等，这一切都要突出函数的思想;另外，现在的高考题常常用增加题目中参数的方法来提高题目的难度，用于区别学生之间解题能力的差异。我们常常应对参数的策略点是消去参数，化未知为已知;或讨论参数，分类找出参数的含义;或分离参数，将参数问题化成函数问题，使问题迎刃而解。这些，我称之为解题创新之举。
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还有一类数学解题中的创新，是代换，构造新函数新图形等等，俗称代换法、构造法，这里有更大的思维跨越，在解题的某一阶段有时出现山穷水尽，无计可施时，用代换与构造，就会使思路豁然开朗、柳暗花明、思路顺畅、解答优美，体现数学之美。常见的代换有变量代换，三角代换，整体代换;常用的构造有构造函数、构造图形、构造数列、构造不等式、构造相关模型等等。
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总之，数学是一门规律性强、逻辑结构严密的学科，它有规律、有模型、有式子、有图形，只要我们掌握了它的规律、看清了模型、了解了式子、记住了图形，数学就会变成一门简单而有趣的科学。这种战略上的藐视与战术上的重视，将会使考生们超常发挥，取得优异的成绩。
高等数学学习方法
1.必须熟悉各种基本题型并掌握其解法。
课本上的每一道练习题，都是针对一个知识点出的，是最基本的题目，必须熟练掌握;课外的习题，也有许多基本题型，其运用方法较多，针对性也强，应该能够迅速做出。许多综合题只是若干个基本题的有机结合，基本题掌握了，不愁解不了它们。
2.在解题过程中有意识地注重题目所体现的出的思维方法，以形成正确的思维定势。
数学是思维的世界，有着众多思维的技巧，所以每道题在命题、解题过程中，都会反映出一定的思维方法，如果我们有意识地注重这些思维方法，时间长了头脑中便形成了对每一类题型的“通用”解法，即正确的思维定势，这时在解这一类的题目时就易如反掌了;同时，掌握了更多的思维方法，为做综合题奠定了一定的基础。
3.多做综合题。
综合题，由于用到的知识点较多，颇受命题人青睐。做综合题也是检验自己学习成效的有力工具，通过做综合题，可以知道自己的不足所在，弥补不足，使自己的数学水平不断提高。“多做练习”要长期坚持，每天都要做几道，时间长了才会有明显的效果和较大的收获。
高等数学学习技巧
初中数学的快速记忆法之歌诀记忆
就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。”采用这种方法来记忆，学生不仅喜欢记，而且记得牢。
高等数学微分知识点
一、历年微积分考试命题特点
微积分复习的重点根据考试的趋势来看，难度特别是怪题不多，就是综合性串题。以往考试选择填空题比较少，而今年变大了。微积分一共74分，填空、选择占32分。第一是要把基本概念、基本内容有一个系统的复习，选择填空题很重要。几大运算，一个是求极限运算，还有就是求导数，导数运算占了很大的比重，这是一个很重要的内容。当然，还有积分，基础还是要把基本积分类型基础搞清楚，定积分就是对称性应用。二重积分就是要分成两个累次积分。三大运算这是我们的基础，应该会算，算的概念比如说极限概念、导数概念、积分概念。
二、微积分中三大主要函数
微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。
三、微积分复习方法
微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西，比如说我在考研教育网辅导课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学模型。
还有中值定理，还有微分学的应用，比如说单调性、凹凸性的讨论、不等式证明等等。应用部分包括证明推断的内容。
简单概括一下就是三个基本函数要搞清楚，三大运算的基础要搞熟，概念点要看看参考书地都有系统的总结，哪些点在此就不一一列了。计算题、应用题、函数微分学延伸出的证明题都要搞熟。
高等数学考点汇总
一、一元函数积分学
(一)不定积分
1.知识范围
(1)不定积分
原函数与不定积分的定义原函数存在定理不定积分的性质
(2)基本积分公式
(3)换元积分法
第一换元法(凑微分法)第二换元法
(4)分部积分法
(5)一些简单有理函数的积分
2.要求
(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。
(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。
(5)会求简单有理函数的不定积分。
(二)定积分
1.知识范围
(1)定积分的概念
定积分的定义及其几何意义可积条件
(2)定积分的性质
(3)定积分的计算
变上限积分牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式换元积分法分部积分法
(4)无穷区间的广义积分
(5)定积分的应用
平面图形的面积旋转体体积物体沿直线运动时变力所作的功
2.要求
(1)理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件。
(2)掌握定积分的基本性质。
(3)理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
(4)熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
(5)掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
(6)理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
(7)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。
会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。
二、向量代数与空间解析几何
(一)向量代数
1.知识范围
(1)向量的概念
向量的定义向量的模单位向量向量在坐标轴上的投影向量的坐标表示法向量的方向余弦
(2)向量的线性运算
向量的加法向量的减法向量的数乘
(3)向量的数量积
二向量的夹角二向量垂直的充分必要条件
(4)二向量的向量积二向量平行的充分必要条件
2.要求
(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
(2)熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。
(3)熟练掌握二向量平行、垂直的充分必要条件。
(二)平面与直线
1.知识范围
(1)常见的平面方程
点法式方程一般式方程
(2)两平面的位置关系(平行、垂直和斜交)
(3)点到平面的距离
(4)空间直线方程
标准式方程(又称对称式方程或点向式方程)一般式方程参数式方程
(5)两直线的位置关系(平行、垂直)
(6)直线与平面的位置关系(平行、垂直和直线在平面上)
2.要求
(1)会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。会求两平面间的夹角。
(2)会求点到平面的距离。
(3)了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。
(4)会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上)。
(三)简单的二次曲面
1.知识范围
球面母线平行于坐标轴的柱面旋转抛物面圆锥面椭球面
2.要求
了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。
三、多元函数微积分学
(一)多元函数微分学
1.知识范围
(1)多元函数
多元函数的定义二元函数的几何意义二元函数极限与连续的概念
(2)偏导数与全微分
偏导数全微分二阶偏导数
(3)复合函数的偏导数
(4)隐函数的偏导数
(5)二元函数的无条件极值与条件极值
2.要求
(1)了解多元函数的概念、二元函数的几何意义。会求二次函数的表达式及定义域。了解二元函数的极限与连续概念(对计算不作要求)。
(2)理解偏导数概念，了解偏导数的几何意义，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。
(3)掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。
(4)掌握复合函数一阶偏导数的求法。
(5)会求二元函数的全微分。
(6)掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。
(7)会求二元函数的无条件极值。会用拉格朗日乘数法求二元函数的条件极值。
(二)二重积分
1.知识范围
(1)二重积分的概念
二重积分的定义二重积分的几何意义
(2)二重积分的性质
(3)二重积分的计算
(4)二重积分的应用
2.要求
(1)理解二重积分的概念及其性质。
(2)掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。
(3)会用二重积分解决简单的应用问题(限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平面薄板质量)。
四、无穷级数
(一)数项级数
1.知识范围
(1)数项级数
数项级数的概念级数的收敛与发散级数的基本性质级数收敛的必要条件
(2)正项级数收敛性的判别法
比较判别法比值判别法
(3)任意项级数交错级数绝对收敛条件收敛莱布尼茨判别法
2.要求
(1)理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。
(2)掌握正项级数的比值判别法。会用正项级数的比较判别法。
(3)掌握几何级数、调和级数与级数的收敛性。
(4)了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。
(二)幂级数
1.知识范围
(1)幂级数的概念
收敛半径收敛区间
(2)幂级数的基本性质
(3)将简单的初等函数展开为幂级数
2.要求
(1)了解幂级数的概念。
(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分)。
(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法。
(4)会运用麦克劳林(Maclaurin)公式，将一些简单的初等函数展开为幂级数。
五、常微分方程
(一)一阶微分方程
1.知识范围
(1)微分方程的概念
微分方程的定义阶解通解初始条件特解
(2)可分离变量的方程
(3)一阶线性方程
2.要求
(1)理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。
(2)掌握可分离变量方程的解法。
(3)掌握一阶线性方程的解法。
(二)可降价方程
1.知识范围
(1)型方程
(2)型方程
2.要求
(1)会用降阶法解型方程。
(2)会用降阶法解型方程。
(三)二阶线性微分方程
1.知识范围
(1)二阶线性微分方程解的结构
(2)二阶常系数齐次线性微分方程
(3)二阶常系数非齐次线性微分方程
2.要求
(1)了解二阶线性微分方程解的结构。
(2)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
(3)掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
考试形式及试卷结构
试卷总分：150分
考试时间：150分钟
考试方式：闭卷，笔试
试卷内容比例：
函数、极限和连续约15%
一元函数微分学约25%
一元函数积分学约20%
多元函数微积分(含向量代数与空间解析几何)约20%
无穷级数约10%
常微分方程约10%
试卷题型比例：
选择题约15%
填空题约25%
解答题约60%
试题难易比例：
容易题约30%
中等难度题约50%
较难题约20%
高考高等数学知识点
知识点一：函数、极限与连续
重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
知识点二：一元函数微分学
重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
知识点三：一元函数积分学
重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
知识点四：向量代数与空间解析几何(数一)
主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
知识点五：多元函数微分学
重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
知识点六：多元函数积分学
重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
知识点七：无穷级数(数一、数三)
重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
知识点八：常微分方程及差分方程
重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。
高等数学学习方法
规律记忆：即根据事物的内在联系，找出规律性的东西来进行记忆。比如，识记长度单位、面积单位、体积单位的化法和聚法。化法和聚法是互逆联系，即高级单位的数值率=低级单位的数值，低级单位的数值÷进率=高级单位的数值。掌握了这两条规律，化聚问题就迎刃而解了。规律记忆，需要学生开动脑筋对所学的有关材料进行加工和组织，因而记忆牢固。
列表记忆：就是把某些容易混淆的识记材料列成表格，达到记忆之目的。这种方法具有明显性、直观性和对比性。比如，要识记质数、质因数、互质数这三个概念的区别，就可列成表来帮助学生记忆。
高等数学学习技巧
养成良好的学习数学习惯，多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
及时了解、掌握常用的数学思想和方法，中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。
有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。
逐步形成“以我为主”的学习模式，数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
要建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
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