数论问题试题分析

时间:2022-07-03 10:20:04 语文 我要投稿
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关于数论问题试题分析

  1、下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这12个整数中,至少有几个偶数?

关于数论问题试题分析

  □+□=□ □-□=□ □×□=□ □÷□=□

  2、任意取出1234个连续自然数,它们的总和是奇数还是偶数?

  3、一串数排成一行,它们的规律是:前两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和。如:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

  试问:这串数的前100个数(包括第100个数)中,有多少个偶数?

  4、能不能将1010写成10个连续自然数之和?如果能,把它写出来;如果不能,说明理由。

  5、能否将1至25这25个自然数分成若干组,使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和?

  6、在象棋比赛中,胜者得1分,败者扣1分,若为平局,则双方各得0分。今有若干个学生进行比赛,每两人都赛一局。现知,其中有一位学生共得7分,另一位学生共得20分,试说明,在比赛过程中至少有过一次平局。

  7、在黑板上写上1,2,…,909,只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a,b,并写上a-b(其中a≥b)。问:最后黑板上剩下的是奇数还是偶数?

  在整数中,有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法.例如9:9=4+5,9=2+3+4,9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.

  (1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数.

  (2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数.

  分析:(1)关于某整数,它的“奇数的约数的个数减1“,就是用连续的整数的和的形式来表达种数;根据(1)知道,有3种表达方法,于是奇约数的个数为3+1=4,对4分解质因数4=2×2,最小的15(1、3、5、15);有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

  (2)有6种表示方法,于是奇数约数的个数为6+1=7,最小为729(1、3、9、27、81、243、729),有连续的2,3、6、9、10、27个数相加:

  364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40.

  解答:解:根据(1)知道,有3种表达方法,于是奇约数的个数为3+1=4,对4分解质因数4=2×2,最小的15(1、3、5、15);

  有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

  根据(2)知道,有6种表示方法,于是奇数约数的个数为6+1=7,最小为729(1、3、9、27、81、243、729),

  有连续的2,3、6、9、10、27个数相加:

  364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40

  8、设a1,a2,…,a64是自然数1,2,…,64的任一排列,令b1=a1-a2,b2=a3-a4,…,b32=a63-a64;c1=b1-b2,c2=b3-b4,…,c16=b31-b32;d1=c1-c2,d2=c3-c4,…,d8=c15-c16;……

  这样一直做下去,最后得到的一个整数是奇数还是偶数?

  1、至少有6个偶数。

  2、奇数。解:1234÷2=617,所以在任取的1234个连续自然数中,奇数的个数是奇数,奇数个奇数之和是奇数,所以它们的总和是奇数。

  3、33。提示:这串数排列的规律是以“奇奇偶”循环。

  4、不能。

  如果1010能表示成10个连续自然数之和,那么中间2个数的和应当是1010÷5=202。但中间2个数是连续自然数,它们的和应是奇数,不能等于偶数202。所以,1010不能写成10个连续自然数之和。

  5、不能。提示:仿例3。

  6、证:设得7分的学生胜了x1局,败了y1局,得20分的学生胜了x2局,败了y2局。由得分情况知:

  x1-y1=7,x2-y2=20。

  如果比赛过程中无平局出现,那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2,即x1+y1+x2+y2是偶数。另一方面,由x1-y1=7知x1+y2为奇数,由x2-y2=20知x2+y2为偶数,推知x1+y1+x2+y2为奇数。这便出现矛盾,所以比赛过程中至少有一次平局。

  7、奇数。解:黑板上所有数的和S=1+2+…+909是一个奇数,每操作一次,总和S减少了a+b-(a-b)=2b,这是一个偶数,说明总和S的奇偶性不变。由于开始时S是奇数,因此终止时S仍是一个奇数。

  8、偶数。

  解:我们知道,对于整数a与b,a+b与a-b的奇偶性相同,由此可知,上述计算的第二步中,32个数。

  a1-a2,a3-a4,…,a63-a64,

  分别与下列32个数。

  a1+a2,a3+a4,…,a63+a64,

  有相同的奇偶性,这就是说,在只考虑奇偶性时,可以用“和”代替“差”,这样可以把原来的计算过程改为

  第一步:a1,a2,a3,a4,…,a61,a62,a63,a64;

  第一步:a1+a2,a3+a4,…,a61+a62,a63+a64;

  第三步:a1+a2+a3+a4,…,a61+a62+a63+a64;

  ……

  最后一步所得到的数是a1+a2+…+a63+a64。由于a1,a2,…,a64是1,2,…,64的一个排列,因此它们的总和为1+2+…+64是一个偶数,故最后一个整数是偶数

  将1,2,3这3个数字选出1个、2个、3个按任意次序排列出来可得到不同的一位数、二位数、三位数,请将其中的质数都写出来.

  分析:按要求写出所有一位数,二位数,三位数,然后选出质数即可.

  解答:解:一位数为:1,2,3,

  二位数为:12,13,21,23,31,32,

  三位数为:123,132,213,231,312,321,

  其中质数为2,3,13,23,31.

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