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实变函数的复习资料
一、集合
1、 证明：(A B) C A (B C)；(A B) C (A C) (B C)。
2、 证明：单调上升（下降）有上界（下界）的数列{xn}必有上确界（下确界），且sup{xn} limxn，
nn
（inf{xn} limxn）。 nn
3、 证明：若{An}单增，则limAn An；若{An}单减，则limAn An。 n n 1n n 1
114、 证明：E[f a] E[f a ]；E[f a] E[f a ]。 n 1n 1nn
5、 证明：任何无限集必与其一个真子集对等。
6、 证明：若A是无限集，B是有限集或可数集，则A B A。
7、 证明：有理数全体成一可数集。
8、 证明：开区间(0,1)是一不可数集。
9、证明：无理数全体成一不可数集。
二、点集
1、设A B，证明：A B ,A0 B0,A B。
2、证明： A A A。
3、设E是[0,1]中的全体有理点，求E在R内的E ,E0,E。
4、设E {(x,y)|0 x y 1}，求E在R内的全体内点集，外点集，界点集，聚点集，孤立点集。
5、设E R，证明：E是开集，E 和E是闭集。
6、证明开集的任意并、有限交仍为开集。并举例说明开集的任意交不一定是开集。
7、证明开集与闭集的对偶性。
8、证明：点集F为闭集的充要条件是F F。
9、设f(x)是定义在R上的函数，则f(x)在其上连续的充要条件是：对任意开集G，点集n012220
f 1(G) {x|f(x) G}是开集。
三、测度论
n1、 若E {(0,0, ,0)} R，求mE。 *
**2、 证明：若A B，则mA mB。
3、 若mA 0，则对任意B，证明：m*(A B) m*B。
4、 若m*(E1E2) m*(E2E1) 0，
证明：m*(E1 E2) m*(E1 E2) m*E1 m*E2。
5、 设S1,S2均为可测集，S2 S1且mS2 ，证明：m(S1 S2) mS1 mS2。
6、 证明：凡外测度为零之集皆可测。
7、 若X {1,2,3}， {{1},{2,3}}，试写出X上由 所生成的 代数。
8、 若{En}是一列可测集，证明：
1）limEn与limEn都是可测集；
n n *
2）m(En) mEn；
n n
3）若m(
n 1UEn) ，则limmEn m(limEn)。 n n
9、若可测集列{En}满足
四、可测函数 m(En 1 n) ，证明m(limEn) 0。 n
1、 若E是可测集，f(x) c,x E，c为常数，证明f(x)是E上的可测函数。
2、 若E是可测集，A E，f(x)为定义在E上的函数，f(x)
数的充要条件是E为可测集。
3、 设f(x)是定义在可测集E上的函数，证明：f(x)是E上的可测函数的充要条件是对任意有限实数a， 1,x A，证明f(x)是E上可测函 0,x A
E[f a]是可测集。
4、 证明可测集上的连续函数必是可测函数。
5、 设E R是可测集，f(x)为定义在E上的实函数，证明：f(x)为E上的可测函数的充要条件是对
任意开集G R，f 1n(G)是可测集。
6、 设fn(x)依测度收敛于f(x)，证明：fn(x)依测度收敛于g(x)的充要条件是 f(x) g(x)a.e.于E。
7、 设{fn(x)}是可测集E上一列可测函数，f(x) a.e.于E。若对任给 0,存在E的可测子集
E ，使得m(EE ) ，且{fn(x)}在E 上一致收敛于f(x)，证明：{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)。
8、 设E是可测集，f(x) a.e.于E，若对任给 0,存在E的闭子集F，使得m(EF) ，且
f(x)在F上连续，证明：f(x)是E上的可测函数。
五、积分论
1、 设mE ，f(x)是定义在E上的非负可测函数，证明：若f(x)在E上有界，则f(x) 在E上L可
积。
2、 设E是可测集，f(x)是定义在E上的非负可测函数，证明：
1）若 Ef(x)dx 0，则f(x) 0a.e.于E；
2）若A,B是E的两个互不相交的可测子集，则 A Bf(x)dx f(x)dx f(x)dx。 AB
3、设E是可测集，f(x)与g(x)都是定义在E上的非负可测函数，
证明：若f(x) g(x)，则 Ef(x)dx g(x)dx。 B
4、设A,B是可测集且A B，f(x)是定义在B上的非负可测函数，证明： Af(x)dx f(x)dx。 B
E上一列非负可测函数，当x E时，对任意n Z有fn(x) fn 1(x)且5、设E是可测集，{fn}
n 1为
limfn(x) f(x)。若 f1(x)dx ，证明：lim fn(x)dx f(x)dx。 n En EE
6、设E是可测集，证明：
（1）设f在E上积分确定且f(x) g(x)，则g也在E上积分确定且
（2）设f和g都在E上积分确定且f(x) g(x)，则 Ef(x)dx g(x)dx。 E Ef(x)dx g(x)dx。 E
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