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初中数学优质课堂实录
课题：
初一数学“比较线段的长短”（第一课时）
课堂实录：
课前探究
情景1：教师不小心把课本掉在教室门口，请同学帮我捡一下，并解释你为什么选择这条路线？
情景2：《课本》P89，如图，小狗和小猫为什么都选择直的路线？“难道它们也懂数学？”
师：小组先合作，讨论一下。
（学生纷纷讨论，兴致极高）
（几分钟后）
师：那位同学能把你们组讨论的结果告诉大家。
（学生们争先恐后地举手）
师：请4组的5 号同学回答。
生1：我会走最直的路线去捡这本书。（该生说着并沿直线走了过去，快速把书捡了起来）
师：同学们，他为什么选择这样的路线？而不选择别的路线？
生2：这样好走。
生3：这样走最省时间。
生4：这样走简单。
…… ……
生6：这样走最近。
师：为什么这样走最近？
生5：因为这样走时直的。
生6：直的最近。
师：（赞许）这位同学回答得非常好！因为是直线，所以这条路线最短。
师：现在请大家思考一下，如果把小狗用一个点A表示，把猎物用另一个点B表示，那么小狗走的路线就是线段AB，把它作为第①路线；从Ａ走到点Ｂ，除了线段ＡＢ，还可以有无数条路线，如第②路线，第③路线……（老师在黑板上画出图形。）
从图中，大家可以看出在这些线中，哪条最短？
生：（异口同声）①最短。
师：（板书）
１.在两点之间的所有连线中，线段最短。简称“两点之间线段最短”。
２.两点间线段的长度，叫做两点之间的距离，
师：关于这两个知识点，请大家注意以下几点
① 两点之间线段最短，不是直线最短。
② 两点间线段的长度，叫两点间距离。注意是线段的长度。
师：请大家理解一下这两个知识点。
（设计意图：①问题情境的创设从“老师的书掉到地上寻求帮助”、“小猫和小狗为了抢食物而奔跑”这样学生比较熟悉的生活背景出发，提出了“难道它们也懂数学？”的疑问，这样的引入，贴近学生的生活实际，让学生体会到数学就在我们身边，让学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，从而激发学生的求知欲。使课堂的一开始就充满灵动的神韵。②把小狗、猎物表示为一个点，把小狗的行走路线表示为一条直线，这样把实际问题抽象成数学问题并板书于黑板，教师辅助以语言讲解，让学生充分直观地体会“到两点之间线段最短”，明确两点之间距离的含义，并初步了解数形结合的数学思想。③根据课堂教学的需要以及学生的思路适时调整提问方式，环环相扣的提出问题，启而不发的引导学生使他们的思路向主题靠拢；并从学生的回答中，不失时机的挖掘“闪光点”，加以引申引导，以达到本节课的授课目的。）
2 米山中学袁吉玲
圆与圆的位置关系
师出示幻灯片
你认识上面的几何图形吗？他们由哪些图形组成？
生答:多个圆
师指出：这节课我们来探究圆与圆的位置关系。（标课题）
圆与圆有几种位置关系？
师指导探究一：
我们研究直线与圆的位置关系时以公共点的个数来区分的，圆与圆的位置关系我们也从公共点的个数来区分的话有几种位置关系？
（1）自己动手在两张透明纸上画两个大小不同的圆，固定其中一个移动另一个，观察两圆有几种不同位置关系.
（2）观看两圆位置关系演示，试着把它们画出来.
生动手，师巡视后请学生到黑板板演
两个圆没公共点如图：（1）（2）（3）
一个公共点如
图（4）(5)
两圆有2个
公共点如图（6）
师问：两圆有没有三个公共点？
生答：没有。
师问：为什么？
生A答：不在同一直线上的三点确定一个圆，如果有三个公共点，那么这两个圆就重合为一个圆。
师问：看图1、2、都没有公共点，两圆的位置关系有没有不同的点？
生答：有不同点
师问：不同点是？
生丁答1中一个圆的所有点在另个圆的外部，2中其中一个圆的所有点在另个圆的内部。
师指出图一位置关系我们称外图二位置关系称内涵，图三的位置关系是内含的特例：同心圆
师问那么图4和5有没有异同点，如果有是什么？
生答；有，一个圆的所有点都在另一个圆的内部，一个圆的所有点在另一个的外部
师质疑：公共点T是在圆的外部还是在内部？
生更正：一个圆的所有点除公共点外都在另一个圆的内部，一个圆的所有点初公共点外在另一个的外部
师指出图4的位置关系是外切，图5的位置关系是内切，可以统称为相切。图6的位置关系我们称相交。
师问：两个不等圆有几种位置关系，他们是什么？
生答：5种，外离，外切，相交，内切，内含
师问：如果两圆没有公共点那么两圆的位置关系是？如果两圆有一个公共点那么两圆的位置关系是？
生答：外离、内含，外切、内切。
师问：两个不等圆有5种位置关系，那么两个相等的圆有几种位置关系。
生答：三种。外离、外切、相交。
师：两不等圆的这5种位置关系是不是轴对称图形？如果是，对称轴是什么？
在学生讨论的过程中，教师适当引导：我们知道圆是轴对称图形，任何过圆心的直线都是它的对称轴，那么两圆在各种位置关系中的组合图形还是轴对称图形吗？对称轴是什么？学生争先恐后地回答：是，对称轴是过两圆心的直线。师：过两圆心的直线我们叫连心线。
大家再观察（4）（5）图形，还能发现什么？在这里学生容易观察出切点在对称轴上，但说明切点在连心线上有一定困难，特给予一定的时间讨论,教师给予清楚地分析。
师：我们在研究直线与圆的位置关系的时候，除了从定性的角度（公共点的个数）还从定量的角度来分析他们的位置关系，下面我们也从定量的角度来分析两圆的位置关系。
师问：两圆的位置关系与哪些量有关？有怎样的关系？
师课件展示：两圆半径不动，移动位置改变两圆的位置关系；两圆的位置不动，改变圆的大小从而改变两圆的位置关系 学生回答：两圆的位置关系由两圆的圆心距和两圆的半径有关，
师再问：有什么关系？
师指导探究二、要求学生先独立思考后小组合作交流，再生生交流释疑
在这个过程中教师巡视指导后由生到黑板板演关系
外离 d＞r1＋r2
外切 d=r1＋r2
相交 r1-r2＜d＜r1＋r2
内切d=r1-r2
内含0＜＝d＜r1-r2
师问：下面的同学是否同意上面的观点？
生B答：内切内含要说明r1要大于r2
并且内含要有等于0的情况。
师质疑：为什么？
此生答：因为等圆没有内切、内含的位置关系。内含时有一种特例：同心圆，此时圆心距为零。师给予肯定。
师总结提高，在数轴上表
在判断两圆的位置关系的时候，一般先计算两圆半径的和与差，
学以致用
两圆的半径分别为3和5，两圆心距为9、8、 7 、6 、5 、4、 3 、2、 1 时两圆的位置关系是什么？
生答：外离，外切，相交，相交，相交，相交，相交，内切，内含师指导小组合作自学例题后做课后随堂练习和变式训练。 变式训练：
两圆相切，一圆半径为6，圆心距为4，求另一圆的半径。
两圆半径分别为6和8，两圆相交，求圆心距。
（教师巡视，抽生到黑板板演）
3 崔明宇
通过问题链，启动学生们的思维，在解决问题的过程中引出课题并解决课题也不失为一种好的方法。比如：
配方法是初中数学中比较重要的一种方法。在一元二次方程的解法、二次函数中都有涉及。但是讲授配方法却经常令人无从下手。
我以为，巧借数形结合这种思想可以很好的加以解决。“一元二次方程解法”导入：
师：我们学过了直接开平方解一元二次方程，请你举出几个这样的方程。（学生举例）这种方程具有什么特点？
生：等式的一边是含有未知数的整式的平方，另一边是一个非负数。
师：看图①，已知正方形的边长为x，它的面积可以表示为 ,如果边长增加4，新正方形的边长为 ,面积表示为 ,如果新正方形面积为400，由此可以列方程 。能求出原来正方形的边长x吗？
学生不难列出方程（x+4）2=400,并且轻而易举利用直接开平方法求出原正方形的边长x。
师：在图①中，右下角的小正方形的边长是 ,面积是 。我们截去这个小正方形，把余下的三部分拼成图②形状，现在这个图形是个矩形，它的边长分别是 、 ,面积可以表示成 ,实际上它的面积是 ,于是我们也可以列出一个方程 。
生：x(x+8)=384，即x2+8x=384。（一）
师：这个方程怎样解？（将学生一军，在此之前进行的都比较顺利，基本没有障碍，但这个问题把学生难住了。）
师趁热打铁，把图②拼成图③形状。现在不是正方形了，需要补上一块什么样的图形才能得到一个大正方形？ （学生回答：4 x4=16的正方形 ）。原来面积是 （384）,现在大正方形面积 （384+16=400）,现在正方形边长是 （x+4） 。 可得方程x2+8x+42=384+42，即（x+4）2=400（二）
对比方程（一）、（二），实际上就是方程（一）的两边都加上了一个数42得到方程（二），这样方程经过我们的操作左边配成了一个我们熟悉的式子：完全平方式。所以这个方程对我们来说就没有困难了，我们可以通过直接开平方的方法来解它。
生归纳，师点拨：为什么方程（一）不能用直接开平方的方法解，而方程（二）能呢？哪一步比较重要？是怎样处理的？引出课题：这就是我们要研究的配方法解一元二次方程。
通过这种问题链的形式，层层递进，一步一个脚印，一步一个台阶，稳扎稳打，循序渐进，本来水穷山尽疑无路，最终却柳暗花明又一村。
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