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关于数学教学方法基础理论的探索
教学方法是指完成教学任务所使用的工作方法，它包括教师教的方法和同学学的方法。因此，教学方法应全面地理解为：是教与学的双边活动和其相互结合；是为完成教学任务和达到教学目的服务的；包括各种各样的具体方式和手段。
作为数学教师，应当对主要的一些数学教学方法有一个全面、系统的了解。这样，才干根据具体的教学内容、教学对象和不同的课型合理地选用不同的教学方法，而且还可以在这些教学方法的基础上，自身去探索和创建一些新的教学方法。
一般地认为，数学教学方法分为保守的教学方法和现代的教学方法两类，下面我们依据这种分法分别介绍主要的一些数学教学方法。
一、保守的数学教学方法
保守的数学教学方法，是指在长期的数学教学实践活动中形成的、至今仍行之有效的各种教学方法，其中包括讲解法、谈话法、演示法、讨论法等。
1．讲解法
讲解法是由教师对教学内容进行有系统地讲述的一种教学方法。其特点是以教师为主导，利用口头语言作为传送知识的基本工具，同学是知识信息的接受者。
讲解法的基本要求：
(1)科学性。讲解的内容要准确无误，即讲概念要清楚，掌握好概念的内涵与外延；论述命题证明、推理要合乎逻辑，思路和方法要明确、清晰。
(2)系统性。讲解要条理清楚、层次分明，重点突出，注意同学理解问题的认识规律，使讲授内容系统化。
(3)启发性。讲授中要引起同学的求知欲，激发同学思维活动。运用讲解法不等于“满堂灌”、注入式。教师的讲解要善于提出问题、创设问题情境，激发疑问，使同学与教师积极配合，主动参与学习活动。
(4)艺术性。讲解的语言要清晰、洗炼、准确、生动，尽量做到深入浅出，通俗而不失严谨。讲解语言音量适当，抑扬顿挫，富有情趣，快慢适当。
(5)情感性。讲授课容易让同学发生枯燥无味之感，因此，情感因素的注入和喧染是提高讲授效果的最佳方法。
讲解法的优点：能够坚持教师在教学中的主导地位，教学时间和进度便于教师控制，并且所授内容能坚持流畅与连贯；便于重点内容的分析、难点的突破，易于协助同学抓住问题的关键，节约教学时间。
讲解法的缺点：教学中同学参与少，容易造成被动接受知识的状态，不利于能力的培养；不易照顾同学中思维反应快与慢的两端，只能面向中等同学。
2．谈话法
谈话法是教师根据教学内容和同学的实际情况，提出设计好的若干问题，用谈话的方式启发引导同学积极考虑、探索，从而获得知识的一种教学方法。
谈话法的主要特点是师生之间不像讲授法那样，教师讲，同学听，信息单项交流，而是信息的双向交流。在谈话中，师生之间都可以获得反馈信息，根据这些反馈信息可以和时地调整和改善教与学的活动。这种教学过程，既可以使同学融会贯通地掌握知识，又能发展同学的智力，而且，在经常问答的过程中还锻炼了同学的表达能力。
谈话法的基本要求：对同学而言，要积极思维，主动参与；勇于发现，积极应答。对教师的要求有下面几点。
(1)精心设计“问题系统”，对提问的对象和同学可能会怎样回答等要做到心中有数。教师在备课时应拟出提问的提纲、对谈话所需的时间、给同学能顺利地回答发明哪些条件等，都要做好准备。
(2)提出的问题，要难易适度。对某些有困难的'同学，要善于由浅入深、由易到难的逐步引导。提出的问题要明确，应是同学所能理解的。
(3)要善于引导研讨、启发发现。对所提出的谈话内容，要具有启发性，教师要引导同学积极考虑，层层深入，逐步地获得结论。
(4)要面向全体同学，因材施教。在谈话中要面向全体同学提出问题，并给他们一定的考虑时间，使全体同学都处于积极思维的参与状态。要照顾优生和差生，鼓励同学大胆回答问题。
(5)和时小结。谈话中要对同学回答问题的情况和时小结，使同学明确是非，提高认识。
谈话法的优点：突出课堂教学中师生的双边活动，有利于信息反馈；课堂气氛活跃，有利于促进同学积极思维，有利于对同学能力的培养。
谈话法的缺点：教学组织比较困难，教学时间不易控制。
3．演示法
演示法是教师将教材内容用实物或教具演示出来，或做示范性实验来说明或印证所授知识的一种教学方法。在数学教学中，演示法主要用于概念(或局部命题)教学。
演示法大体可分为四种：①图片、图画、挂图的演示；②教具、实物模型的演示；③幻灯、录音、录像、教学电影的演示；④实验演示。运用演示法教学，对教师有如下具体的要求。
(1)演示要突出主题内容，尽量排除在演示过程中对学习内容发生干扰的无关因素。
(2)在演示时要与教师的讲解和谈话相结合，通过教师语言的启发，使同学不是停留在事物的外部表象上，而要使同学的认识上升到理性阶段，形成概念。
(3)教具的演示要适时、适当和适度。演示的目的在于协助理解概念、掌握知识，但最终要逐步离开教具，上升为理性认识。因此，教学中演示教具要恰到好处，过多地依赖教具不利于同学数学思维的发展。
演示法的优点：可以使同学获得丰富的感性资料，加深对概念实质的理解，有利于培养同学的形象思维能力；能够激发同学的学习兴趣，调动同学的学习积极性和主动性。
演示法的缺点：实用范围受教学内容、教学设施所限。
4．讨论法
讨论法是同学根据教师所提出的问题，在集体中，相互交流个人的看法，相互启发、相互学习的一种教学方法。
讨论法的主要特点是：信息交流既不同于讲解法的单向交流，也不同于谈话法的双向交流，而是讨论集体成员之间的多向信息交流。同学的发言可以和时获得反馈信息，调节自身的观点，课堂气氛活跃。
讨论法的基本要求：
(1)讨论前师生都要做好充沛准备。教师要向同学提出讨论的课题，指出注意事项，安排一些阅读的参考资料，每个同学都应按要求做好讨论发言准备。
(2)讨论题需简要明确，有具体的目标，问题深浅适当。
(3)讨论中要鼓励同学大胆发言，勇于表达自身的观点。
(4)每个问题讨论结束时，教师要作小结。
讨论法的教学程序：
(1)同学自学。教师指定自学内容，提出学习目标、并指出重、难点。
(2)自行讲解。教师把要讨论的内容，按概念、命题、例题、习题等分成若干单元，把同学分成小组或全班一起进行讨论，讨论时可选出主讲人，以主讲人讲述为主，其余成员补充为辅。
(3)相互讨论。在教师启发下，对主讲的结果正确与否？有无不同解法等进行讨论。
(4)单元结论。在相互讨论之后，教师归纳出正确结论，进行单元小结。
(5)全课总结。待所设计的每个单元都讨论结束后，教师对全课内容进行总结，安排相应的练习、作业。
讨论法的优点：讨论活动是以同学自身的活动为中心，每个同学都有发言的机会，这对于培养同学的语言表达能力是十分有益的；讨论前需要同学自学并准备发言提纲，这既培养了同学的自学能力，又调动了同学学习的主动性和积极性；讨论中的发言固然要围绕讨论的中心，但又可以不受教材的限制，因而有利于发挥同学的独立考虑和发明精神。
讨论法的缺点：课堂组织教学不易控制；比较耗费教学时间。
讨论法可使每个同学展示自身的思想，这样的交流可以促使他们认知结构的完善。另外，也可以发挥每个人的个性特征，增强他们的自信心和发明力。这种方法在国外是普遍采用的方法，而在我国却用之甚少，很值得深入研究。
二、国外教改中的数学教学方法
1．发现法
发现法又称探索法、研究法、现代启发式或问题教学法。指教师在同学学习概念、命题时，只是给他一些事实(例)和问题，让同学积极考虑，独立探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法。它的指导思想是以同学为主体，独立实现认识过程，即在教师的启发下，使同学自觉地、主动地探索；科学认识解决问题的方法和步骤；研究对象的起因和内部联系，从中找出规律，形成概念或解决问题。
发现法就其思想渊源来说，有着悠久历史，但是引起人们对发现法的重新关注和研究，是由于20世纪60年代布鲁纳的大力倡议。布鲁纳认为，要培养具有发明发明才干的科技人才，不但要使同学掌握学科的基本概念、基本原理，而且要发展同学对待学习的探索性态度，从而大力提倡广泛使用发现法。
使用发现法教学的一般步骤：
(1)创设问题情境，激发同学的兴趣和学习的主动性。
(2)推测问题结论，研讨问题解法。在教师的启发下，同学积极考虑，回忆有关知识和方法，进行分析、综合、猜想结论，探索解决问题的途径和方法。
(3)验证结论。采用反驳或论证去验证所得猜测。
(4)完善问题的解答，总结思路方法，并对获得的知识用于应用和巩固。
发现法的教学过程可概括为如下框图模式。
发现法教学的基本要求：
(1)教师要发挥主导作用，精心创设情境，引导同学有目的、有步骤地去发现问题。
(2)同学要发挥主体作用，积极主动地参与发现过程，充沛运用观察、试验、联想、类比、分析、归纳等方法，积极提出猜测，进行论证。
(3)教师要突出强调发现问题的思维过程，使同学逐步掌握数学的思想方法。
发现法的优点：能使同学发生学习的内在动机，增强自信心；能使同学学会发现的试探方法，培养同学提出问题、解决问题的能力和发明发明的态度；利于同学自身将知识系统化和结构化，更好地理解和巩固知识。
发现法的缺点：花费学时太多；受同学思维发展水平限制，很多内容不适宜发现法；对教师的要求较高，假如教师没有较高水平，那么采用发现法进行教学是难以取得好效果的。
2．程序教学法
程序教学法来源于美国的鲁莱西设计的一种进行自动教学的'机器，企图利用这种机器，把教师从教学的具体事务中解脱出来，节省时间和精力。这种设想，当时没有引起重视和推广。直至1945年，美国心理学家斯金纳重新提出，才引起广大心理学和教育界人士的重视。
程序教学法是指依靠教学机器和程序教材，出现学习程序，包括问题的显示，同学的反映和将反映的正误情况，反馈给同学，使学习者进行个别学习的一种教学方法。程序教学主要有两类，即直线式的程序和分支式的程序。
直线式程序是斯金纳首创的。其教学过程是：把学习资料由浅入深地分为若干“小单元”，以直线式的编排，每一个小单元内容写在一张卡片上，依次出现给同学。在出现每一个单元时，要求同学进行对答反应，假如答对了，机器就出现出正确答案，然后进入下一步，否则，继续考虑回答。其模式为：①→②→③→…→(n)。
分支式程序是美国心理学家克洛德创建的。它是直线式程序的发展，采用多重选择反应，以适应个别差别的需要。其教学过程是：将教材内容依次分为若干单元出现给同学，在同学阅读了一个单元的教材之后，立即对他进行检验(检验题有正、误的多项选择答案)，假如选对了，就引进新的内容，进入下一单元的学习；假如选错了，便引向一个适宜的单元，再继续学习，或者回到先前的单元再学习一遍，然后又进行问题回答，直到回答正确后进入下一单元的学习。其模式如图5－1。
分支式程序的进一步发展，是利用计算机进行辅助教学(CAI)，这局部内容将在§ 5．4中作介绍。
程序教学法的优点：由于要求同学自身动手、动脑去独立完成学习任务，因此有利于培养自学能力和养成自学习惯；有利于因材施教；可以排除师资条件对教学的影响，保证教学质量的提高。
程序教学法的缺点：教学过程呆板、单调，缺乏灵活性，容易束缚同学发明思维的发展，不利于能力的培养；不利于发挥教师的主导作用，缺乏师生之间的情感交流；教师难以了解同学的学习心理过程，不能对学习障碍和时排除。
3．范例教学法
范例教学法是在德国教育家瓦·根舍于20世纪50年代创建的“范例教学”理论基础上发展起来的教学方法，指用典型范例去达到对事物一般属性认识和理解的教学方法。范例教学法要求教师在备课时对教学内容进行以下五个方面的分析。
(1)基本原理分析。分析教材中哪些是带有普遍意义的内容，这些内容对今后教学起什么作用，选择哪些范例，通过研讨范例使同学掌握哪些原理、规律和方法。
(2)智力作用分析。分析课题内容对同学智力活动所起的作用。
(3)未来意义分析。分析课题内容对同学未来学习的意义。
(4)内容结构分析。分析组成整个内容的基本要素，这些要素之间的关系在教材中所处的地位；分析课题内容的整个结构。
(5)内容特点分析。分析这个课题有哪些特点，哪些内容能引起同学的兴趣，通过哪些直观手段引发同学提出问题，安排什么作业才干使同学有效地应用知识等。
范例教学法的教学步骤分为下面四个阶段。
(1)以典型范例说明事物的特征。
(2)通过对范例的认识，归纳出一类对象的普遍特征和实质属性。
(3)认识事物的发展规律，掌握方法。
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