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平面向量的数量积知识点总结的内容

时间：2022-06-23 23:05:14 总结范文我要投稿

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平面向量的数量积知识点总结的内容

　　教学过程：

平面向量的数量积知识点总结的内容

　　一、复习引入：

　　1. 向量共线定理? 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ .

　　2.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2

　　3.平面向量的坐标表示

　　分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

　　把叫做向量的(直角)坐标，记作

　　4.平面向量的坐标运算

　　若，，则? ，? ， .

　　若，，则

　　5. ∥? ( ? )的充要条件是x1y2-x2y1=0

　　6.线段的定比分点及λ

　　P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，

　　使? =λ ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：

　　λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1)??? ( 外分)λ<0? (-1<λ<0)

　　7. 定比分点坐标公式：

　　若点P1(x1，y1) ，P2(x2，y2)，λ为实数，且 =λ ，则点P的坐标为( )，我们称λ为点P分所成的比.

　　8. 点P的位置与λ的范围的关系：

　　①当λ>0时，与同向共线，这时称点P为的内分点.

　　②当λ<0( )时，与反向共线，这时称点P为的外分点.

　　9.线段定比分点坐标公式的向量形式：

　　在平面内任取一点O，设 =a， =b，

　　可得 = .

　　10.力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角.

　　二、讲解新课：

　　1.两个非零向量夹角的概念

　　已知非零向量a与b，作 =a， =b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

　　说明：(1)当θ=0时，a与b同向;

　　(2)当θ=π时，a与b反向;

　　(3)当θ= 时，a与b垂直，记a⊥b;

　　(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?

　　2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，

　　(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.

　　?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

　　(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.

　　(2)两个向量的数量积称为内积，写成a?b;今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“? ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

　　(3)在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0.

　　(4)已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c? a = c

　　如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|

　　? a?b = b?c? 但a ? c

　　(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)

　　显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

　　3.“投影”的概念：作图

　　定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.

　　投影也是一个数量，不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|.

　　4.向量的数量积的几何意义：

　　数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.

　　5.两个向量的数量积的性质：

　　设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

　　1?? e?a = a?e =|a|cos?

　　2?? a?b ? a?b = 0

　　3?? 当a与b同向时，a?b = |a||b|;当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或

　　4?? cos? =

　　5?? |a?b| ≤ |a||b|

　　三、讲解范例：

　　例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a?b.

　　例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)?(a-3b).

　　例3 已知|a|=3， |b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

　　例4 判断正误，并简要说明理由.

　　①a?0=0;②0?a=0;③0- = ;④|a?b|=|a||b|;⑤若a≠0，则对任一非零b有a?b≠0;⑥a?b=0，则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a，b，с都有(a?b)с=a(b?с);⑧a与b是两个单位向量，则a2=b2.

　　解：上述8个命题中只有③⑧正确;

　　对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0?a=0;对于②：应有0?a=0;

　　对于④：由数量积定义有|a?b|=|a|?|b|?|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a?b|=|a|?|b|;

　　对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a?b=0;

　　对于⑥：由a?b=0可知a⊥b可以都非零;

　　对于⑦：若a与с共线，记a=λс.

　　则a?b=(λс)?b=λ(с?b)=λ(b?с)，

　　∴(a?b)?с=λ(b?с)с=(b?с)λс=(b?с)a

　　若a与с不共线，则(a?b)с≠(b?с)a.

　　评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

　　例6 已知|a|=3，|b|=6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a?b.

　　解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°，

　　∴a?b=|a|?|b|cos0°=3×6×1=18;

　　若a与b反向，则它们的夹角θ=180°，

　　∴a?b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;

　　②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°，

　　∴a?b=0;

　　③当a与b的夹角是60°时，有

　　a?b=|a||b|cos60°=3×6× =

　　评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是[0°，180°]，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.

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