品才网>总结范文>《函数的基本性质》知识点总结

《函数的基本性质》知识点总结

时间：2024-11-07 08:55:18 嘉璇总结范文我要投稿

高中函数基本性质知识点总结推荐度：
相关推荐

《函数的基本性质》知识点总结

　　在日复一日的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。掌握知识点有助于大家更好的学习。以下是小编精心整理的《函数的基本性质》知识点总结，欢迎大家分享。

《函数的基本性质》知识点总结

　　基础知识：

　　1.奇偶性

　　（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

　　注意：

　　①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

　　②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

　　（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

　　①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

　　②确定f(－x)与f(x)的关系；

　　③作出相应结论：

　　若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

　　若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

　　（3）简单性质：

　　①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；

　　②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：

　　奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

　　2.单调性

　　（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

　　注意：

　　①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

　　②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

　　（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

　　（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：

　　①若u=g(x) 在 A上是增

　　（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]

　　在A上是增函数；

　　②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。

　　（4）判断函数单调性的方法步骤

　　利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

　　①任取x1，x2∈D，且x1

　　（5）简单性质

　　①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

　　②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

　　③在公共定义域内：

　　增函数f(x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)是减函数；增函数f(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)增函数g(x)是减函数。

　　④若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

　　3.函数的周期性

　　如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.

　　性质：

　　①如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.

　　②若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为T||。

　　③若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称; 若a2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

　　例题： 1.y1x2的递减区间是；ylog1(x3x2)的单调递增区间是。 1x22.函数f(x)lg(21)的图象（） 1xA.关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称 D. 关于直线yx对称

　　3.设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x0时，f(x)log3(1x)，则f(2)。

　　4.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x2)，若f(x)在[2,0]上递增，则（）

　　A.f(1)f(5.5)B．f(1)f(5.5)C．f(1)f(5.5)D．以上都不对

　　5.讨论函数f(x)x1的单调性。

　　6.已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数,若f(m1)f(2m1)0，求实数m 的取值范围。

　　7.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(0)2004，求f(2004)。

　　、函数的解析式与定义域

　　1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型：

　　（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;

　　（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如：

　　①分式的分母不得为零;

　　②偶次方根的被开方数不小于零;

　　③对数函数的真数必须大于零;

　　④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

　　⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

　　应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。

　　（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。

　　已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域。

　　2、求函数的解析式一般有四种情况

　　（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式。

　　（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法。比如函数是一次函数，可设f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可。

　　（3）若题设给出复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法求函数f（x）的表达式，这时必须求出g（x）的值域，这相当于求函数的定义域。

　　（4）若已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其他未知量（如f（—x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f（x）的表达式。

　　函数的值域与最值

　　1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

　　（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域。

　　（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。

　　（3）反函数法：利用函数f（x）与其反函数f—1（x）的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得。

　　（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法。

　　（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧。

　　（6）判别式法：把y=f（x）变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其题型特征是解析式中含有根式或分式。

　　（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域。

　　（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域。

　　2、求函数的最值与值域的区别和联系

　　求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异。

　　如函数的值域是（0，16]，最大值是16，无最小值。再如函数的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2。可见定义域对函数的值域或最值的影响。

　　3、函数的最值在实际问题中的应用

　　函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值。

　　习题：

　　题型一：判断函数的奇偶性

　　1.以下函数：（1）y1(x0)；（2）yx1；（3）y2；（4）ylog2x；（5）x4xx2；其中奇函数是，偶函数是，ylog2(xx1)，(6)f(x)x222非奇非偶函数是。

　　2.已知函数f(x)=xx,那么f(x)是( )

　　A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数

　　C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数

　　题型二：奇偶性的应用

　　1.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),它们在4,0上的图像分别如图（2-3）所示，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_____________________。

　　图(2-3)

　　2.已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d为常数，若f(7)7，则f(7)____

　　3.下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（）

　　A.f(x)sinx B.f(x)xC.f(x)1x2xaaxD.f(x)ln 22x

　　4.已知函数yf(x)在R是奇函数，且当x0时，f(x)x22x，则x0时，f(x)的解析式为。

　　5.若fx是偶函数,且当x0,时, fxx1,则fx10的解集是（）

　　A.x1x0 B. xx0或1x2 C. x0x2 D. x1x2 题型三：判断证明函数的单调性

　　1.判断并证明f(x)

　　22在(0,)上的单调性 x12.判断f(x)2x2x1在(,0)上的单调性

　　题型四：函数的单调区间

　　1.求函数ylog0.7(x23x2)的单调区间。

　　2.下列函数中，在(,0)上为增函数的是（）

　　A.yx24x8 B.yax3(a0) C.y2 D.ylog1(x) x12

　　3.函数f(x)x

　　A.0,1的一个单调递增区间是（） xB.,0C.0,1D.1,

　　4.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=

　　5.函数y=54xx2的递增区间是( )

　　A.(-∞，-2)B.[-5，-2] C.[-2，1]D.[1，+∞)

　　题型五：单调性的应用

　　1.函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( )

　　A.[3，+∞ ) B.(-∞，-3] C.{-3}D.(-∞，5]

　　2.已知函数f(x)=2x-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)时是减函数，则f(1)等于( )

　　A.-3B.13C.7 D.由m而决定的常数． 2242 D.y=x-4x+3 x

　　3.若函数f(x)x3ax2bx7在R上单调递增，则实数a, b一定满足的条件是（）

　　A．a3b0B.a3b0 22C．a3b0 2D．a3b1 2

　　4.函数f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恒成立，则b的最小值为。

　　5.已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。题型六：周期问题

　　1.奇函数f(x)以3为最小正周期，f(1)3，则f(47)为( )

　　A.3B.6C.-3 D.-6

　　2.设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x =3对称，则下面正确的结论是()

　　A.f(1.5)

　　C.f(6.5)

　　x3.已知fx为偶函数,且f2xf2x,当2x0时,fx2,则f2006

　　（）

　　A．2006 B．4C．4 D． 1 4

　　4.设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(47.5)等于_____

　　5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.

　　6、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函数,

　　求证:2m是f(x)的一个周期.

　　7、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.

【《函数的基本性质》知识点总结】相关文章：