双曲线方程的知识点总结

双曲线方程的知识点总结

　　双曲线方程

　　1. 双曲线的第一定义：

　　⑴①双曲线标准方程：

　　. 一般方程：

　　⑵①i. 焦点在x轴上：

　　顶点：

　　焦点：

　　准线方程

　　渐近线方程：

　　或

　　ii. 焦点在

　　轴上：顶点：

　　. 焦点：

　　. 准线方程：

　　. 渐近线方程：

　　或

　　，参数方程：

　　或

　　②轴

　　为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率

　　. ④准线距

　　(两准线的距离);通径

　　. ⑤参数关系

　　. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程

　　分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

　　“长加短减”原则：

　　构成满足

　　(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)

　　⑶等轴双曲线：双曲线

　　称为等轴双曲线，其渐近线方程为

　　，离心率

　　⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.

　　与

　　互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

　　⑸共渐近线的双曲线系方程：

　　的渐近线方程为

　　如果双曲线的渐近线为

　　时，它的双曲线方程可设为

　　例如：若双曲线一条渐近线为

　　且过

　　，求双曲线的方程?

　　解：令双曲线的方程为：

　　，代入

　　得

　　⑹直线与双曲线的位置关系：

　　区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;

　　区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;

　　区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;

　　区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;

　　区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

　　小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

　　(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入

　　法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

　　⑺若P在双曲线

　　，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m?n.

　　简证：

　　常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.