初中数学教材中的化归思想剖析

初中数学教材中的化归思想剖析

　　“问题是数学的心脏”，数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分，而几乎所有问题的解决都离不开化归，只是所体现的形式有所不同。计算题是利用规定的运算法则进行化归，证明题是利用公理、定理或已经证明了的命题进行化归，应用题利用数学模型化归，……因此，可以说，离开了化归，数学问题将无法解决，化归是解决数学问题的最基本的手段之一。而通过一定的转化过程，把待解决的问题转化为已经解决或比较容易解决的问题或这类问题的某种组合，这种思想被称之为“化归思想”。

　　在整个初中数学教材中无处不渗透着化归思想，我们时常需要把高次的化为低次的，把多元的化为单元的，把高维的化为低维的，把指数运算化为乘法运算，把几何问题化为代数问题，化无理为有理等，可以说在初中的数学教材中，每一册都有较多问题的解决需要用化归的思想方法来完成，而在历年的中考题中许多压轴题的解决也需要用化归的思想方法来完成，所以这种数学思想是初中数学中解决问题的一种非常重要的数学思想。

　　化归思想的实质就是将一个新问题进行变形，使其转化为另一个已经解决的问题，从而使原来的问题得到解决。其一般模式是把所要解决的问题A经过某种变化，使之归结为另一个问题A*，再通过问题A*的求解，把解得的结果还原于原有问题A，从而使原有问题得解。

　　化归思想包含三个要素：化归的对象、化归的方向和化归的方式方法。要正确运用化归思想，就要分清化归的对象，明确要化归的方向，考虑实施化归的方法。本文主要从化归的方向对初中教材中的化归思想进行举例分析。

　　从化归的方向上来看，化归的方向大致可以分为下面两种：

　　一、新知识向已知知识点或知识块的转化

　　在初中数学教材中，有许多新知识的获得或新问题的解决都是通过转化为已知知识或已解决的问题来完成的，也就是将新知识向已知知识点或知识块转化，从而使问题得到解决。下面就以解方程为例来分析这种化归的方向。

　　1、消元降次化归，实现新知识向已知知识点的转化

　　(1)降次化归解一元方程

　　解一元二次方程时有以下四种基本解法：

　　a、如果方程的一边是关于X的完全平方式，另一边是个非负的常数，则根据平方根的意义将形如方程转化为两个一次方程进而得解，此为开平方。

　　b、如果将方程通过配方恒等变形，一边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负的常数，则其后的求解可由思路一完成，此为配方法。

　　c、如果方程一边为零，一边能分解成两个一次因式之积，就可以得到两个因式分别为零的一次方程，它们的解都是原方程的解，此为因式分解法。

　　d、如果以上三条思路受阻，便可把方程整理为一般形式，直接利用公式求解。

　　纵观以上四种方法，不难发现，方法一即所谓开平方法，它是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程，完成了由“二次”向“一次”的转化。方法二中的“配方”仅完成了方程的恒等变形，把问题转移到“可开方”上来，并未完成“降次转化”这一实质性工作，但已经为“二次”向“一次”转化创造了条件，因而习惯上称之为“配方法”，配方法的实质就是通过转化为开平方来解决的。方法三即因式分解法，其理论依据是“若干个因式之积为零时，则其中至少有一个因式为零”，据此，也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。方法四即所谓公式法，对一般的一元二次方程,通过配方,转化为开平方求得一般结论,即求根公式。公式法以强调结论，应用结果为前提，而省略了公式的探究过程，实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题，而公式的得到则是化归思想的典型体现。

　　从以上分析不难看到：将“一元二次”这个新知识点转化为“一元一次”这个已知知识点之际，也就是顺利求解一元二次方程之时。因此，应用化归思想降次转化为一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。

　　而对于高次方程，初中教材中的都是简单的一元高次方程，这类方程根据具体方程的特殊性可以通过一些常规的数学方法把它们转化为一元一次方程或一元二次方程，即完成从新知识点到已知知识点的降次化归过程，从而使此类方程问题得到解决。

　　(2)消元降次化归解方程组

　　解二元一次方程组，其基本方法是通过加减消元或是代入消元转化为一元一次方程，即完成从新知识点到已知知识点的转化，从而得到求解。三元一次方程组，也通过消元，转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程，从而使问题得解。而对于二元二次方程组，如果要解的二元二次方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程构成的，那么直接先消元转化为一个一元二方程就可以求解了。如果要解的二元二次方程组是由两个二元二次方程组成的，则既要消元，又要降次，需转化为两个分别含有一个二元一次方程的二元二次方程组或四个二元一次方程组，即完成由新知识向已知知识的转化，从而使二元二次方程组得到求解。

　　2、分式方程整式化、无理方程有理化,实现新知识向已知知识块的转化

　　初中新教材中的分式方程按去分母后的形式分为可化为一元一次方程的分式方式和可化为一元二次方程的分式方程，前者安排在七年级上，后者安排在八年级下。从此可以看出把分式方程转化为整式方程这一已知的知识模块是解分式方程的基本思路。初中教材中的无理方程基本上都可以通过对方程两边进行平方或是换元把它转化为整式方程中的一元一次方程或是一元二次方程，从而使无理方程转化为有理方程这一已知的模块，从而得到求解。这里需要注意的是在分式方程整式化、无理方程有理化的变形过程中,有可能不是恒等变形，可能产生增根，所以分式方程和无理方程都必须要验根。

　　纵观整个初中教材，不难发现除了解方程问题，还有许多知识的转化都属于新知识向已知知识点或知识块的转化，如:异分母分数的加减法，通过通分转化成同分母分数的加减法;多边形的内角和问题转化为三角形的内角和来解决、梯形的中位线问题转化为三角形的中位线来解决等，可以说初中教材中运用化归思想来解决的问题其化归的方向大部分都属于这种类型。

　　二、一般情况向特殊情况的转化

　　在解决数学问题中除了上述的化归方向外，还有一类化归方向是：先解决特殊条件或特殊情况下的问题，然后通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决，这也是解决新问题获得新知识的一种重要的化归方向。

　　一般解题时先解决特殊条件或特殊情况下的问题，然后通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决，这也是顺利解决某些问题的一种重要的化归方向，特别是在中考题的最后一题中，往往也有许多时候是需要先解决特殊条件下的问题，然后再通过化归把一般情况下的问题转化为特殊条件下的情形来解决，所以这种化归方向在获得新知识解决新问题的过程中也发挥着非常重要的作用。

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