中国剩余定理的解题技巧

中国剩余定理的解题技巧

　　剩余定理一般指孙子定理。孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。以下是小编帮大家整理的中国剩余定理的解题技巧，希望对大家有所帮助。

　　中国剩余定理的解题技巧

　　有1个数，除以7余2，除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少？

　　这种问题称为“中国剩余定理”问题。

　　我一般用两种方法解决这类问题。

　　第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。

　　第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。

　　还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。所以一般不用。

　　下面分别介绍一下常用的两种方法。

　　通用的方法：逐步满足法

　　一个数，除以5余1，除以3余2。问这个数最小是多少？

　　把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26……

　　然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11。

　　所以11就是所求的数。

　　先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。

　　好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。

　　特殊的方法：最小公倍法

　　情况一

　　一个数除以5余1，除以3也余1。问这个数最小是多少？（1除外）

　　除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。

　　除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。

　　所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15＋1=16。

　　情况二

　　一个数除以5余4，除以3余2。问这个数最小是多少？

　　这种情况也可以用特殊法。

　　数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。

　　数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。

　　所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14。

　　多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。

　　所以有时候特殊法和通用法混合使用。在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。

　　我们接下来分析最开始的那个问题。

　　有1个数，除以7余2，除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少？

　　这道题目不能用特殊法，我们用通用法，解题过程中注意余数知识的运用。

　　除以7余2的数可以写成7n＋2。

　　7n＋2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余数知识）

　　7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余数知识），则n最小取6。

　　所以满足“除以7余2，除以8余4”的最小的数是7×6＋2=44。

　　所有满足“除以7余2，除以8余4”的数都可以写成44＋56×m。（想想为什么？）

　　要求44＋56×m除以9余3，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余数知识）

　　56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余数知识），则m最小取2。

　　所以满足“除以7余2，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44＋56×2=156。

　　剩余定理是什么

　　剩余定理是数论中的一个重要定理，主要用于解决关于整数的一些问题。它主要分为以下几种类型：

　　余同取余：如果一个数除以几个不同的数，余数相同，那么这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与余数相加的形式。例如，如果一个数除以3余1，除以4余1，除以10余1”，则这个数可表示为60n1。

　　和同加和：如果一个数除以几个不同的数，除数与余数之和相同，那么这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该和相加的形式。例如，如果一个数除以5余4，除以6余3，除以8余1”，则这个数可表示为120n9。

　　差同减差：如果一个数除以几个不同的数，除数与余数之差相同，那么这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该差相减的形式。例如，如果一个数除以3余1，除以4余2，除以10余8”，则这个数可表示为60n-2。

　　此外，剩余定理也被用于求解一些特定的数值问题，例如《孙子算经》中提到的“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”的问题，可以通过剩余定理找到最小正整数解。

　　在实际应用中，剩余定理可以帮助我们确定一个数在被多个数除时的余数，进而推算出这个数本身。例如，如果我们知道一个数被3、5、7这三个数除都余2，我们可以利用这些信息来计算这个数。

　　综上所述，剩余定理是一种重要的数论定理，它在解决问题时提供了简洁且有效的解决方法。

　　技巧：

　　1、模线性同余方程求解：

　　对于单个模线性同余方程ax≡b(mod m)，可以利用扩展欧几里得算法求出其解。

　　2、构造乘积形式：

　　根据定理内容，需要将原问题转化为求一个数x，在每个模mi下都满足给定的同余条件。这通常通过先分别对每个模求解，然后利用中国剩余定理的结论进行“拼接”。

　　3、使用递归或迭代法：

　　当模数较多时，可以采用逐次求解、逐步合并的方法，类似于辗转相除法或者更高级的递归算法。

　　4、简化问题：

　　如果发现某些模数之间不互质，可以通过约简来简化问题，即将不互质的模数合并成互质的模数。

　　5、利用程序实现：

　　对于复杂的问题，可以借助计算机编程语言如Python、C++等，利用已有的库函数来快速高效地求解。

　　总结起来，灵活运用中国剩余定理的关键在于理解和熟练掌握模运算性质，并能够针对具体问题选择合适的求解策略。