高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结

时间:2022-12-02 12:02:27 总结范文 我要投稿
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高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

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高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

  数学选修2-2导数及其应用知识点必记

  1.函数的平均变化率是什么?答:平均变化率为

  f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1:其中x是自变量的改变量,可正,可负,可零。

  注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

  2、导函数的概念是什么?

  答:函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y,则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数,记作f"(x0)或y"|xx0,即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x

  3.平均变化率和导数的几何意义是什么?

  答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。

  4导数的背景是什么?

  答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。

  5、常见的函数导数和积分公式有哪些?函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx

  6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?答:若fx,gx均可导(可积),则有:和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特别地:Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特别地:"2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab(其中F"xfx)和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特别地:积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb

  7.用导数求函数单调区间的步骤是什么?答:①求函数f(x)的导数f"(x)

  ②令f"(x)>0,解不等式,得x的范围就是递增区间.③令f"(x)

  8.利用导数求函数的最值的步骤是什么?

  答:求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:⑴求f(x)在a,b上的极值;

  ⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。

  注:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;

  9.求曲边梯形的思想和步骤是什么?

  答:分割近似代替求和取极限(“以直代曲”的思想)

  10.定积分的性质有哪些?

  根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:

  11.

  ababbbbb性质5若f(x)0,xa,b,则f(x)dx0

  ①推广:[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

  aaaa②推广:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

  aac1ckbc1c2b11定积分的取值情况有哪几种?

  答:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0.

  (l)当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;

  (2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;

  (3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积.

  12.物理中常用的微积分知识有哪些?答:(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。

  数学选修2-2推理与证明知识点必记

  13.归纳推理的定义是什么?答:从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。

  14.归纳推理的思维过程是什么?答:大致如图:

  实验、观察概括、推广猜测一般性结论

  15.归纳推理的特点有哪些?

  答:①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

  ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验,因此,它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题。

  16.类比推理的定义是什么?

  答:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

  17.类比推理的思维过程是什么?答:

  观察、比较联想、类推推测新的结论

  18.演绎推理的定义是什么?

  答:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

  19.演绎推理的主要形式是什么?答:三段论

  20.“三段论”可以表示为什么?

  答:①大前题:M是P②小前提:S是M③结论:S是P。

  其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。

  21.什么是直接证明?它包括哪几种证明方法?

  答:直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

  22.什么是综合法?

  答:综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。

  23.什么是分析法?答:分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因”。

  要注意叙述的形式:要证A,只要证B,B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。

  24什么是间接证明?

  答:即反证法:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。

  25.反证法的一般步骤是什么?

  答:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;

  (2)从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

  (3)从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确。

  26常见的“结论词”与“反义词”有哪些?原结论词反义词原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个一个也没有至少有两个至多有n-1个至少有n+1个对任意x不成立p或qp且q反义词存在x使成立p且qp或q对所有的x都成立存在x使不成立

  27.反证法的思维方法是什么?答:正难则反....

  28.如何归缪矛盾?

  答:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;

  (3)自相矛盾.

  29.数学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤是什么?nnN答:(1)证明:当n取第一个值时命题成立;00

  (2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确注:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

  数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记

  30.复数的概念是什么?答:形如a+bi的数叫做复数,其中i叫虚数单位,a叫实部,b叫虚部,数集

  Cabi|a,bR叫做复数集。

  规定:abicdia=c且,强调:两复数不能比较大小,只有相等或不相b=d等。实数(b0)

  31.数集的关系有哪些?答:复数Z一般虚数(a0)

  虚数(b0)纯虚数(a0)

  32.复数的几何意义是什么?答:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

  33.什么是复平面?

  答:根据复数相等的定义,任何一个复数zabi,都可以由一个有序实数对

  (a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应,因此

  复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。

  34.如何求复数的模(绝对值)?答:与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数zabi的模(也叫绝对值)记作z或abi。由模的定义可知:zabia2b2

  35.复数的加、减法运算及几何意义是什么?

  答:①复数的加、减法法则:z1abi与z2cdi,则z1z2ac(bd)i。

  注:复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。

  ②复数的乘法法则:(abi)(cdi)acbdadbci。

  ③复数的除法法则:

  abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做实数化因子

  36.什么是共轭复数?

  答:两复数abi与abi互为共轭复数,当b0时,它们叫做共轭虚数。

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