数学归纳法教学设计

数学归纳法教学设计

　　作为一名老师，常常要根据教学需要编写教学设计，教学设计是一个系统化规划教学系统的过程。写教学设计需要注意哪些格式呢？下面是小编收集整理的数学归纳法教学设计，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

数学归纳法教学设计1

　　一、教材分析

　　数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。本课是数学归纳法的第一节课，前面学生对等差数列、数列求和、二项式定理等知识有较全面的把握和较深入的理解，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，这是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法，这是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节，同时本节内容又是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

　　二、教学目标

　　学生通过数列等相关知识的学习，已经基本掌握了不完全归纳法，已经由一定的观察、归纳、猜想能力。

　　根据教学内容特点和教学大纲，结合学生实际而制定以下教学目标：

　　1．知识目标

　　（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

　　（2）初步理解数学归纳法原理。

　　（3）能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论。

　　（4）会用数学归纳法证明与正整数相关的简单的恒等式。

　　2．能力目标

　　（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

　　（2）在学习中培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力。

　　3．情感目标

　　（1）通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点。

　　（2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟数学的内在美，激发学生学习热情，使学生喜欢数学。

　　（3）学生通过置疑与探究，初步形成正确的数学观，创新意识和严谨的科学精神。

　　三、教学重点与难点

　　1．教学重点

　　借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用。

　　2．教学难点

　　（1）如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性。

　　（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当时结论正确。

　　四、教学方法

　　本节课采用交往性教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、交流性和合作性。

　　五、教学过程

　　（一）创设情境，提出问题

　　情境一：根据观察某学校第一个到校的女同学，第二个到校的也是女同学，第三个到校的还是女同学，于是得出：这所学校的.学生全部是女同学。

　　情境二：平面内三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，于是得出：凸边形内角和是。

　　情境三：数列的通项公式为，可以求得，，，，于是猜想出数列的通项公式为。

　　结论：运用有限多个特殊事例得出的一般性结论，即不完全归纳法不一定正确。因此它不

　　能作为一种论证的方法。

　　提出问题：如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课所要学习的数

　　学归纳法就是解决这一问题的方法之一。

　　（二）实验演示，探索解决问题的方法

　　1．几何画板演示动画多米诺骨牌游戏，师生共同探讨：要让这些骨牌全部倒下，必

　　须具备那些条件呢？（学生可以讨论，加以教师点拨）

　　①第一块骨牌必须倒下。

　　②两块连续的骨牌，当前一块倒下，后面一块必须倒下。

　　（启发学生转换成数学符号语言：当第块倒下，则第块必须倒下）

　　教师总结：数学归纳法的原理就如同多米诺骨牌一样。

　　2．学生类比多米诺骨牌原理，探究出证明有关正整数命题的方法，从而导出本课的重心：数学归纳法的原理及其证明的两个步骤。（给学生思考的时间，教师提问，学生回答，教师补充完善，对学生的回答给予肯定和鼓励）

　　数学归纳法公理：（板书）

　　（1）（递推基础）当取第一个值（例如等）结论正确；

　　（2）（递推归纳）假设当时结论正确；（归纳假设）

　　证明当时结论也正确。（归纳证明）

　　那么，命题对于从开始的所有正整数都成立。

　　教师总结：步骤（1）是数学归纳法的基础，步骤（2）建立了递推过程，两者缺一不

　　可，这就是数学归纳法。

　　（三）迁移应用，理解升华

　　例1：用数学归纳法证明：等差数列中，为首项，为公差，则通项公式为.①

　　选题意图：让学生注意：①数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与正整数有关的问题；

　　②两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不成立；

　　③在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换。

　　此时学生心中已有一个初步的证明模式，教师应该规范板书，给学生提供一个示范。

　　证明：（1）当时，等式左边，等式右边，等式①成立.

　　（2）假设当时等式①成立，即有

　　那么，当时，有所以当时等式①也成立。

　　根据（1）和（2），可知对任何，等式①都成立。

　　例2：用数学归纳法证明：当时

　　选题意图：通过师生共同活动，使学生进一步熟悉数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

　　例3：用数学归纳法证明：当时

　　选题意图：①进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识上升为理性认识；

　　②掌握从到时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项、合并项等。

　　（四）反馈练习，巩固提高

　　课堂练习：用数学归纳法证明：当时

　　（练习让学生独立完成，上黑板板演，要求书写工整，步骤完整，表述清楚，如果发现学

　　生证明过程中的错误，教师及时纠正、剖析，同时对学生板演好的方面予以肯定和鼓励。）

　　教师总结：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：递推基础不

　　可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

　　（五）反思总结

　　学生思考后，教师提问，让同学相互补充完善，教师最后总结，这一环节可以培养学

　　生抽象、归纳、概括、总结的能力，同时教师也可以及时了解学生的掌握情况，以便弥补和及时调整下节课的教学方向。

　　小结：（1）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，

　　而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；

　　（2）数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关数学命题，它的基本思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；

　　（3）递推归纳时从到，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。

　　（六）作业布置

　　选修2－2习题2.3第1题第2题

数学归纳法教学设计2

　　一、关于教学目标设计：

　　根据本节内容的作用、地位以及学生的具体情况，我把这节课的教学目标分为以下三个子目标：

　　知识目标： 理解数学归纳法的原理和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。

　　能力目标：培养学生观察、分析、论证能力，进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力。

　　情感目标：创设一种愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率，激发学生学习潜能。

　　在情感目标的设计上我颇费一番心思。因为情感目标是无法定量评价的，对情感目标的考察是一个综合多方面情况的长期的过程。究竟一堂课是否达到了它应给予的情感体验，别说评价者，就是作为教学对象的学生本身，也不会像学会公式、定理的应用那样，明确自己所得。所以，情感目标就很容易变成一种摆设，甚至只是教案上的一种点缀，在教学过程中被置于从属或可有可无的地位。然而，当前我国的教改的实践主要是素质教育，究其本质是对完整健全人格的追求与培养，即强调教育的人文精神，凸现教育主体的人格特征。我们的教学对象不仅是一个被动的认知体，更重要、更本质的是活生生的生命体。因此我们在课堂教学中必须确立这种人文观，明确情感目标确立的重要性，由传授知识向情感培养延伸。

　　数学归纳法的知识内容有其独特性，我通过讲小故事、学生动手摆多米诺骨牌游戏、做评判者为别人纠错等手段创设一种愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，力争做到提高学生学习的兴趣，激发学生学习潜能。

　　二、关于学生学习情况分析及教学重、难点的设计

　　学生在学习本节课之前，已经学习了用归纳法推导等差数列、等比数列的通项公式，但其正确性还有待用数学归纳法加以证明，因此数学归纳法学习是数列知识的'深入与扩展。它既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。学生在学习数列求通项时，也已经具备一定的归纳、猜测能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有侍加强。为了避免机械套用数学归纳法证题的两个步骤，造成学生思维的堕性及僵化，因而我把分析数学归纳法的原理和实质作为本节课的重点，考虑学生对第二步中的递推思想感到困难，因此把正确理解第二步中的递推思想作为难点。

　　三、教学过程反思：

　　1) 课开始，情趣生；

　　数学归纳法是高中数学教学的重点和难点之一，新课引入之前，为让学生懂得不完全归纳法的不完备性，明确学习数学归纳法的重要性及唤起学习的热情，我先讲了一则民间小故事：地主儿子识字。大意是：地主花重金请了一名先生教儿子识字，第一天学了“一”，第二

　　天学了“二”，之后，地主儿子想：“一”是一横，“二”是二横，那“三”肯定是三横，第三天果不其然是三横，于是地主儿子对地主说：不必学了，很简单，已经全会了。地主大喜，为吹嘘儿子聪明，大摆宴席。席间，一乡绅想讨好地主，就说让地主儿子给他写个名帖，没想到这让地主儿子出尽了洋相，因为那位乡绅的名字叫“万百千”。讲到这里学生大笑，笑声中明确了，不完全归纳法是不可靠的，同时激起对“数学归纳法”的庐山真面目的好奇，渴望一探究竟。教师通过故事渲染气氛，激发学生的求知欲望，消除潜在的心理负担，使教与学有良好的匹配。

　　2) 课进行，情趣浓；

　　新课是从让学生玩多米诺骨牌游戏开始的。我准备了一些军棋子，让学生动手摆放，并完成游戏。然后提出问题：多米诺骨牌游戏成功对骨牌的摆放与操作有什么要求？学生思考讨论，得出多米诺骨牌游戏成功依赖两个条件

　　第一步：第一张牌被推倒，

　　第二步：假若前一张牌被推倒，则后一张牌被推倒。

　　其中第二步用到的就是递推关系，如此通过动手、动脑，及动画演示等形象展示递推关系，为教学难点突破提供直观的的参照物，作感性上的突变，从而分解数学归纳法的一个难点。然后适时给出数学归纳法的定义及步骤。由于学生始终走在一条充满轻松、愉悦的学习道路上，归纳原理很容易被学生所接受。

　　例题的证明过程中，在第二题等差数列的通项公式的证明中，学生在证n=k+1命题成立这步时出现利用结论证结论，不用归纳假设的问题。这也是数学归纳法中最常见的问题。于是，我再一次结合多米诺骨牌游戏，明确第k+1张骨牌是要被第k张骨牌推倒，才是符合游戏规则的。因而在应用数学归纳法证明中，一定做到让归纳假设“粉墨登场”，有它的参与证得的n=k+1时的成立才建立了递推关系即逻辑推理链，实现了在验证命题n=n0正确的基础上, 利用命题本身具有传递性，运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。

　　紧接着，我设计了两个纠错的题，

　　a) 小明认为下面的一个结论是正确的,且给出了证明,你认为这里有无错误呢?

　　1+3+5+……+(2n-1)=n2 +1 （n∈N ）

　　证明:假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即：

　　1+3+5+……+(2k-1)=k2 +1，

　　当n=k+1时由假设得：

　　1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)= k2+1+2k+1=(k+1)2 +1，

　　所以当n=k+1时等式也成立。可知，对n∈N ，原等式都成立。

　　b) 用数学归纳法证明 :

　　1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.

　　下面是小强同学的证法, 你认为他做得对吗? 请说明理由.

　　证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。

　　②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即：

　　1+3+5+……+(2k-1)=k2，

　　当n=k+1时由等差数列前项和公式得：

　　1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) = =(k+1)2，

　　所以当n=k+1时等式也成立。

　　由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。

　　这样安排的目的是让学生进一步领会数学归纳法的原理和实质

　　3）课结束，情趣存

　　这节课的小结是以“提出问题”的方式进行的，我设计以下问题并和学生共同讨论回答。 I. 数学归纳法是怎样运作的？

　　（在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题据有传递性,形成了逻辑推理链，以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.）

　　II. 数学归纳法适用于证明什么样的的命题? （数学归纳法适用于证明：和正整数有关的命题。）

　　III. 数学归纳法基本思想是什么？

　　（在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。） IV. 应用数学归纳法证明命题所依据的自然数的性质是什么？

　　（自然数集的任一非空子集都有最小数。）

　　V. 应用数学归纳法证明问题时要注意什么？

　　（递推基础要打牢, 递推依据不能少, 归纳假设要用到。）

　　由于这些问题都是关于数学归纳法实质及原理的内容，对初次接触数学归纳法的学生来说，回答起来比较困难。为此我在课件的处理上运用了漫画的手法，设计这样一个场景：将这些问题由一名儿童提出来的，旁边坐着他的老师，他在向老师求教。这样，就把我的学生置身于旁观者的角度，减轻了因接受提问所带来的压力。而画面上又是一个小孩子在向长者求教，这使得学生潜意识里增强一种自信，认为小孩子的问题终归会知道一二的。于是热情并渴望表现的学生们便积极展示观点、畅所欲言。

　　我这样做的目的是希望了解学生经过这堂课的学习，对数学归纳法原理和实质究竟有怎样的认识，哪些是正确的，哪些是错误的，还有哪些是需要接下来课程中补足的。对错误的认识，我会立即帮助纠正。而对正确的，即便现在还很朦胧我也并不急于点破主题，让学生在接下来的“数学归纳法的应用”的课上再加深认识，进行自我完善。我相信：已经除去杂草的庄稼，必定会茁壮成长的。

　　然而，从这堂课的实践结果上看，这个环节并不是想象中这样理想，原因有两方面，一个使我有些急，怕时间不够而没有放开让学生发表意见，越俎代庖。另外一个就是学生也拘泥于是一堂录像课，吃不准的观点便不像平时那样毫无顾忌的说出来。这也是促使我着急的一个原因。没想到，最后还剩余了一点时间，只好做做练习。总之，在这点上我还需要再进一步研究并改善。

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