等比数列的性质

等比数列的性质

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等比数列的性质：

第2课时　等比数列的性质

知能目标解读

1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.

2.理解等比数列的性质及应用.

3.掌握等比数列的性质并能综合运用.

重点难点点拨

重点：等比数列性质的运用.

难点：等比数列与等差数列的综合应用.

学习方法指导

1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.

2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{an}中依次取出的数为ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,则 = = =…=qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.

3.如果数列{an}是等比数列，公比为q,c是不等于零的常数，那么数列{can}仍是等比数列，且公比仍为q;?{|an|}?也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列{an}的公比为q,且满足 =q,则 = =q,所以数列{can}仍是等比数列，公比为q.同理，可证{|an|}也是等比数列，公比为|q|.

4.在等比数列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1•a1qn-1

=a21qm+n-2,atas=a1qt-1•a1qs-1=a21qt+s-2,又因为m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.

5.若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1,q2,则

(1){anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2.

(2) { }仍为等比数列，且公比为 .

理由如下：(1) =q1q2,所以{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2;(2) • = ,

所以{ }仍为等比数列，且公比为 .

知能自主梳理

1.等比数列的项与序号的关系

(1)两项关系

通项公式的推广：

an=am• (m、n∈N+).

(2)多项关系

项的运算性质

若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，

则am•an= .

特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，

则am•an= .

2.等比数列的项的对称性

有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1•an=a2• =ak• =a 2 (n为正奇数).

[答案]　1.qn-m　ap•aq　a2p

2.an-1　an-k+1

思路方法技巧

命题方向　运用等比数列性质an=am•qn-m (m、n∈N+)解题

[例1]　在等比数列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.

[分析]　解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求a10.

[解析]　解法一：设公比为q,由题意得

a1q=2 a1= a1=-

，解得 ，或 .

a1q5=162 q=3 q=-3

∴a10=a1q9= ×39=13122或a10=a1q9=- ×(-3)9=13122.

解法二：∵a6=a2q4,

∴q4= = =81,

∴a10=a6q4=162×81=13122.

解法三：在等比数列中，由a26=a2•a10得

a10= = =13122.

[说明]　比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.

变式应用1　已知数列{an}是各项为正的.等比数列，且q≠1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.

[解析]　解法一：由已知条件a1>0,q>0，且q≠1,这时

(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)•(1-q4)

=a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0,

显然，a1+a8>a4+a5.

解法二：利用等比数列的性质求解.

由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)

=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).

当0<q<1时，此正数等比数列单调递减，1-q3与a1-a5同为正数，< p="">

当q>1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，

∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.

∴a1+a8>a4+a5.

命题方向　运用等比数列性质am•an=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解题

[例2]　在等比数列{an}中，已知a7•a12=5，则a8•a9•a10•a11=(　　)

A.10　　　　　　　　B.25　　　　　　　　C.50　　　　　　　　D.75

[分析]　已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.

[答案]　B

[解析]　解法一：∵a7•a12=a8•a11=a9•a10=5，∴a8•a9•a10•a11=52=25.

解法二：由已知得a1q6•a1q11=a21q17=5，

∴a8•a9•a10•a11=a1q7•a1q8•a1q9•a1q10=a41•q34=(a21q17) 2=25.

[说明]　在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1,q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.

变式应用2　在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.

[解析]　∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.

又∵a4a8=5,an>0,

∴a4+a8= = = .

探索延拓创新

命题方向　等比数列性质的综合应用

[例3]　试判断能否构成一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：

①a1+a6=11;②a3•a4= ;③至少存在一个自然数m,使 am-1,am,am+1+ 依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式;若不能，请说明理由.

[分析]　由①②条件确定等比数列{an}的通项公式，再验证是否符合条件③.

[解析]　假设能够构造出符合条件①②的等比数列{an},不妨设数列{an}的公比为q,由条件①②及a1•a6=a3•a4,得

a1+a6=11　　　　　 a1= a1=

，解得 ，或

a1•a6= a6= a6= .

a1= a1=

从而 ，或 .

q=2 q=

故所求数列的通项为an= •2n-1或an= •26-n.

对于an= •2n-1,若存在题设要求的m,则

2am= am-1+(am+1+ ),得

2( •2m-1)= • •2m-2+ •2m+ ,得

2m+8=0,即2m=-8,故符合条件的m不存在.

对于an= •26-n,若存在题设要求的m，同理有

26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.

综上所述，能够构造出满足条件①②③的等比数列，通项为an= •26-n.

[说明]　求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.

变式应用3　在等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比数列，求数列{kn}的通项kn.

[解析]　由题意得a22=a1a4，

即(a1+d) 2=a1(a1+3d)，

又d≠0,∴a1=d.

∴an=nd.

又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比数列，

∴该数列的公比为q= = =3.

∴akn=a1•3n+1.

又akn=knd,∴kn=3n+1.

所以数列{kn}的通项为kn=3n+1.

名师辨误做答

[例4]　四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为1 ，求这个等比数列的公比.

[误解]　设这四个数为aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得

a3q-3=1, ①

aq-1+aq+aq3=1 . ②

由①得a=q,把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2= 或q2=- (舍去)，故所求的公比为 .

[辨析]　上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2,则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误.

[正解]　设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,由题意得

(aq)3=1,　　 　 ①

aq+aq2+aq3=1 .　②

由①得a=q-1,把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q= 或q=- ,故所求公比为 或- .

课堂巩固训练

一、选择题

1.在等比数列{an｝中，若 a6=6,a9=9,则a3等于(　　)

A.4　　　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　　D.3?

[答案]　A?

[解析]　解法一：∵a6=a3•q3,

∴a3•q3=6.?

a9=a6•q3，

∴q3= = .

∴a3= =6× =4.

解法二：由等比数列的性质，得

a26=a3•a9，

∴36=9a3，∴a3=4.

2.在等比数列{an｝中,a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9等于(　　)

A.90　　　　　　　　B.30　　　　　　　　C.70　　　　　　　　　　D.40

[答案]　D

[解析]　∵q2= =2,?

∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.

3.如果数列{an｝是等比数列，那么(　　)?

A.数列{a2n｝是等比数列　　　　　　　　　B.数列{2an｝是等比数列

C.数列{lgan｝是等比数列　　　　　　　　 D.数列{nan｝是等比数列

[答案]　A

[解析]　数列{a2n｝是等比数列，公比为q2,故选A.

二、填空题

4.若a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为 .?

[答案]　1?

2b=a+c,

[解析]　由题意知

b2=ac,

解得a=b=c,∴q=1.

5.在等比数列{an｝中，公比q=2,a5=6,则a8= .?

[答案]　48

[解析]　a8=a5•q8-5=6×23=48.

三、解答题

6.已知{an}为等比数列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.?

[解析]　∵{an}为等比数列,?

∴a1•a9=a3•a7=64,又a3+a7=20,?

∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.?

∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?

当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,?

∴1+q4=5，∴q4=4.?

当a3=16时，a3+a7=a3(1+q4)=20,

∴1+q4= ，∴q4= .?

∴a11=a1q10=a3q8=64或1.

课后强化作业

一、选择题

1.在等比数列{an}中，a4=6,a8=18,则a12=(　　)

A.24　　　　　　　　B.30　　　　　　　　C.54　　　　　　　　D.108?

[答案]　C?

[解析]　∵a8=a4q4,∴q4= = =3,

∴a12=a8•q4=54.

2.在等比数列{an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,则a6+a7的值为(　　)

A.124　　　　　　　　B.128　　　　　　　C.130　　　　　　　D.132

[答案]　B?

[解析]　∵a2+a3=2,a4+a5=16,?

又a4+a5=(a2+a3)q2,

∴q2=8.?

∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8=128.

3.已知{an｝为等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于(　　)

A.5　　　　　　　　　B.10　　　　　　　　C.15　　　　　　　D.20?

[答案]　A?

[解析]　∵a32=a2a4,a52=a4a6,?

∴a32+2a3a5+a52=25,

∴(a3+a5) 2=25,?

又∵an>0,∴a3+a5=5.

4.在正项等比数列{an｝中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于(　　)

A.16　　　　　　　　B.32　　　　　　　　C.64　　　　　　　D.256?

[答案]　C?

[解析]　由已知，得a1a19=16,?

又∵a1•a19=a8•a12=a102,

∴a8•a12=a102=16,又an>0,?

∴a10=4,

∴a8•a10•a12=a103=64.

5.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a25,a2=1,则a1=(　　)?

A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　D.2?

[答案]　B?

[解析]　∵a3•a9=a26,又∵a3a9=2a25,?

∴a26=2a25,∴( )2=2,?

∴q2=2,∵q>0,∴q= .

又a2=1,∴a1= = = .

6.在等比数列{an｝中，an>an+1，且a7•a11=6,a4+a14=5,则 等于(　　)

A. 　　　　　　 　B. 　　　　　 　　C. 　　　　　 　　　D.6

[答案]　A

a7•a11=a4•a14=6

[解析]　∵

a4+a14=5

a4=3 a4=2

解得 或 .

a14=2 a14=3

又∵an>an+1,∴a4=3,a14=2.

∴ = = .

7.已知等比数列{an｝中，有a3a11=4a7,数列{bn｝是等差数列，且b7=a7,则b5+b9等于(　　)

A.2　　　　　　　　　B.4　　　　　　　　C.8　　　　　　　　D.16

[答案]　C

[解析]　∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,

∴a7=4,∴b7=4,

∵{bn}为等差数列，∴b5+b9=2b7=8.

8.已知0<a<b<c,且a,b,c成等比数列的整数，n为大于1的整数，则logan,logbn,logcn成< p="">

(　　)

A.等差数列?　　　　　　　　　　　　　　B.等比数列?

C.各项倒数成等差数列?　　　　　　　　　D.以上都不对?

[答案]　C?

[解析]　∵a,b,c成等比数列，∴b2=ac.?

又∵ + =logna+lognc=lognac

=2lognb= ,?

∴ + = .

二、填空题

9.等比数列{an｝中，an>0，且a2=1+a1,a4=9+a3,则a5-a4等于 .

[答案]　27

[解析]　由题意，得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,

∴q2=9,又an>0,∴q=3.?

故a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27.

10.已知等比数列{an｝的公比q=- ,则 等于 .

[答案]　-3

[解析]　 =

= =-3.

11.(2012•株州高二期末)等比数列{an}中，an>0,且a5•a6=9,则log3a2+log3a9= .

[答案]　2

[解析]　∵an>0,∴log3a2+log3a9=log3a2a9

=log3a5a6=log39=log332=2.

12.(2011•广东文，11)已知{an｝是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q= 　.

[答案]　2?

[解析]　本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得.

解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，?

因为a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=-1，或q=2.

因为an为递增数列，所以q=2.

三、解答题

13.在等比数列{an｝中，已知a4•a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数，求a10.

[解析]　∵a4•a7=a3•a8=-512，

a3+a8=124 a3=-4 a3=128

∴ ，解得 或 .

a3•a8=-512 a8=128 a8=-4

又公比为整数，

∴a3=-4,a8=128,q=-2.

∴a10=a3•q7=(-4)×(-2)7=512.

14.设{an｝是各项均为正数的等比数列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3,b1•b2•b3=-3,求此等比数列的通项公式an.?

[解析]　由b1+b2+b3=3,?

得log2(a1•a2•a3)=3，

∴a1•a2•a3=23=8，

∵a22=a1•a3，∴a2=2,又b1•b2•b3=-3,

设等比数列{an｝的公比为q，得?

log2( )•log2(2q)=-3.

解得q=4或 ，

∴所求等比数列{an｝的通项公式为

an=a2•qn-2=22n-3或an=25-2n.

15.某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到2012年把产量提高到每年生产121万件.如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少?2011年生产这种零件多少万件?.

[解析]　设每一年比上一年增长的百分率为x,则从2010年起，连续3年的产量依次为a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1+x) 2,成等比数列.

由100(1+x) 2=121得(1+x) 2=1.21,

∴1+x=1.1或1+x=-1.1,?

∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，?

a2=100(1+x)=110(万件)，?

所以每年增长的百分率为10%，2011年生产这种零件110万件.

16.等差数列{an}中，a4=10，且a3,a6,a10成等比数列.求数列{an}前20项的和S20.

[解析]　设数列{an}的公差为d，则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.

由a3,a6,a10成等比数列得a3a10=a26，?

即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,?

整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.

当d=0时，S20=20a4=200，?

当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7,?

于是，S20=20a1+ d=20×7+190=330.